人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第6节对数与对数函数学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第6节对数与对数函数学案理含解析，共9页。学案主要包含了四象限．，走进教材，易错自纠等内容，欢迎下载使用。
第六节　对数与对数函数[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1).　　对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中档题，分值为5分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算4.直观想象‖知识梳理‖1．对数的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)；③零和负数没有对数．(2)对数的运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0)①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．►常用结论(1)指数式与对数式互化：ax＝N⇔x＝logaN.(2)对数运算的一些结论：①logambn＝logab；②logab·logba＝1；③logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质 a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过点(1，0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数►常用结论(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)(3)函数y＝log2x及y＝log(3x)都是对数函数．(　　)(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√二、走进教材2．(必修1P73T3改编)已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b答案：D3．(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________．答案：三、易错自纠4．如果logx<logy<0，那么(　　)A．y<x<1 B．x<y<1C．1<x<y D．1<y<x解析：选D　由logx<logy<0，得logx<logy<log1，所以x>y>1.5．函数y＝的定义域为________．解析：要使函数有意义，须满足解得<x≤1.答案：6．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．解析：当0<a<1时，loga<logaa＝1，所以0<a<；当a>1时，loga<logaa＝1，所以a>1.答案：∪(1，＋∞)|题组突破|1.＋log2＝(　　)A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2解析：选B　＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B．2．计算÷100＝________．解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝10lg ＝10lg 10－2＝－2×10＝－20.答案：－203.lg－lg ＋lg＝________．解析：lg －lg ＋lg＝(5lg 2－2lg 7)－××3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)＝(lg 2＋lg 5)＝.答案：4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，所以m＝(负值舍去)．答案：►名师点津对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【例1】　(1)(2019届合肥质检)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)(2)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)A． B．C．(1，) D．(，2)[解析]　(1)令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，且f(－x)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D；由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．(2)易知0<a<1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知，只需满足loga>4，解得a>，∴<a<1，故选B．[答案]　(1)A　(2)B►名师点津(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界；当a>1时，是增函数；当0<a<1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1，0)，且以y轴为渐近线．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　)解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出当x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出当x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度，即得f(x)的图象，结合图象知选A．2．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)A．(1，10) B．(5，6)C．(10，12) D．(20，24)解析：选C　作出f(x)的大致图象，不妨设a<b<c，因为a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知，10<c<12，且|lg a|＝|lg b|，因为a≠b，所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)．常见的考查对数函数的性质的命题角度有：(1)对数值大小的比较；(2)对数函数单调性的应用；(3)与对数函数有关的不等式问题．●命题角度一　对数值大小的比较【例2】　(2019年天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b[解析]　由题意，可知a＝log52<1，b＝log0.50.2＝log＝log2－15－1＝log25>log24＝2，c＝0.50.2<1，∴b最大，a，c都小于1.∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝ ，而log25>log24＝2>，∴<，∴a<c，∴a<c<b，故选A．[答案]　A►名师点津比较对数值的大小，常有以下题型及求法：—●命题角度二　对数函数单调性的应用【例3】　若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)A． B．C． D．[解析]　由－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得，函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2，5)．要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需解得≤m<2.[答案]　C►名师点津与对数函数有关的复合函数的单调性，解决此类问题有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．●命题角度三　与对数函数有关的不等式问题【例4】　设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)[解析]　由题意，得或解得a>1或－1<a<0.故选C．[答案]　C►名师点津处理这类问题的方法是：一般模式都是给出一个含有参数而且与对数有关的函数，通过求导和单调性得到参数的取值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式，最后对变量x相应地赋值证得结论．|跟踪训练|3．(2019年全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a解析：选B　a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1，∵0<0.20.3<0.20＝1，∴c＝0.20.3∈(0，1)，∴a<c<b，故选B．4．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1<x2≤时，f(x2)－f(x1)<0，则实数a的取值范围为________．解析：当x1<x2≤时，f(x2)－f(x1)<0，即函数f(x)在区间上为减函数，设g(x)＝x2－ax＋5，则解得1<a<2.答案：(1，2)【例】　(2019届江西赣州模拟)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________．[解析]　∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，∴0<m<1<n，且－log3m＝log3n，∴mn＝1.∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，∴－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，则m＝，此时n＝3，则log3n＝1，满足题意，那么＝3÷＝9；若log3n＝2，则n＝9，此时m＝，则－log3m2＝4，不满足题意．综合可得＝9.[答案]　9►名师点津由f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，得0<m<1<n，且－log3m＝log3n，可得mn＝1.对范围[m2，n]内f(x)取最大值的情况进行讨论，可求m，n的值．|跟踪训练|(2019届江西一模)若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，∴x＋－4能取遍所有的正数，又当x>0时，x＋－4≥2－4，当x<0时，x＋－4≤－2－4<0(舍去)，∴要满足题意，需2－4≤0，解得a≤4.故实数a的取值范围是(0，1)∪(1，4]．答案：(0，1)∪(1，4]