人教版高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第3节第2课时简单的三角恒等变换学案理含解析

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第二课时　简单的三角恒等变换|题组突破|1.·等于(　　)A．－sin α B．－cos αC．sin α D．cos α解析：选D　原式＝＝＝cos α.2．化简：＝________．解析：原式＝＝＝＝＝cos 2x.答案：cos 2x3．化简：(0<α<π)＝________．解析：原式＝＝＝.因为0<α<π，所以0<<，所以cos >0，所以原式＝cos α.答案：cos α►名师点津三角函数式的化简要遵循“三看”原则●命题角度一　给角求值【例1】　[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________．[解析]　原式＝·sin 80°＝·cos 10°＝2[sin 50°cos 10°＋sin 10°cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.[答案]　●命题角度二　给值求值【例2】　已知coscos＝－，α∈.(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－的值．[解]　(1)因为coscos＝cossin＝sin＝－，所以sin＝－.因为α∈，所以2α＋∈，则2α＋＝π，2α＝π，所以sin 2α＝.(2)因为α∈，所以2α∈.又由(1)知，sin 2α＝，所以cos 2α＝－.所以tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.●命题角度三　给值求角【例3】　(2019届成都一诊)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A． B．C．或 D．或[解析]　因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝.又α＋β∈，故α＋β＝.[答案]　A►名师点津三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值．求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．|跟踪训练|1.的值是(　　)A． B．C． D．解析：选C　原式＝＝＝＝.2．(2019届南充模拟)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则β＝________．解析：因为α∈，β∈，所以α＋β∈(0，π)．又cos α＝，cos(α＋β)＝－，所以sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝，则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.因为β∈，所以β＝.答案：【例】　已知函数f(x)＝sin x－cos x＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cos α)，b＝，0<α<，且a·b＝.(1)求f(x)在区间上的最值；(2)求的值．[解]　(1)f(x)＝sin x－cos x＋2＝2sin＋2，∵x∈，∴x－∈，则sin∈[0，1]，∴f(x)的最大值是4，最小值是2.(2)由题意及(1)知，β＝2π，∴a·b＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝，∴sin α＝，∴＝＝2cos α＝2＝.►名师点津向量与三角函数综合问题的特点与解题思路以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题或三角函数求值问题．有时还融入参数，考查分类讨论的思想方法．|跟踪训练|已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．解：(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝.令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵f＝，∴sin＝1.又α∈(0，π)，∴－<α－<，∴α－＝，故α＝.因此tan＝＝＝2－.