人教版高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理学案理含解析

第六节　正弦定理和余弦定理

‖知识梳理‖

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

►常用结论

三角形中的常用结论

(1)A＋B＝π－C，＝－.

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.

2．三角形的面积

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(　　)

(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)

(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B．(　　)

(4)在△ABC中，“a2＋b2<c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．(　　)

(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×

二、走进教材

2．(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)

A． B．

C． D．

答案：C

3．(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．

答案：等腰或直角三角形

三、易错自纠

4．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)

A．无解 B．两解

C．一解 D．解的个数不确定

解析：选B　∵＝，

∴sin B＝sin A＝sin 45°＝.

又∵a<b，∴B有两个解，

即此三角形有两解．故选B．

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________．

解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，因为0°<B<180°，所以B＝45°或135°.因为b<c，所以B<C，故B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.

答案：75°

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为________．

解析：由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.

答案：

【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝______．

[解析]　解法一：依题意与正弦定理得，sin Bsin A＋sin Acos B＝0，即sin B＝－cos B，则tan B＝－1.又0<B<π，所以B＝.

解法二：由正弦定理得，bsin A＝asin B，又bsin A＋acos B＝0，所以asin B＋acos B＝0，即sin B＝－cos B，则tan B＝－1.又0<B<π，所以B＝.

[答案]　

(2)(2019年全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．

①求A；

②若a＋b＝2c，求sin C．

[解]　①由已知得，sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，

故由正弦定理得，b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得，cos A＝＝.

因为0°<A<180°，所以A＝60°.

②由①知，B＝120°－C，由题设及正弦定理得，sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.

由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，

故sin C＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°

＝.

►名师点津

正、余弦定理的应用技巧

(1)解斜三角形时，主要应用正弦定理和余弦定理，这两个定理应用时要注意区分．如果已知条件中边较多，常用余弦定理求解；如果要用正弦定理，题目条件中必须出现已知角．

(2)解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sin A＝x.①若sin A＝1，则∠A＝90°；②若sin A>1，矛盾无解；③若0<sin A<1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．

|跟踪训练|

1．(2019届河北“五个一名校联盟”模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝，若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，则A＝________．

解析：在△ABC中，由sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A可得，sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin 2A，即sin Acos B＋cos A·sin B＋cos Asin B－sin Acos B＝4sin Acos A，

∴cos Asin B＝2sin Acos A，即cos A(sin B－2sin A)＝0，即cos A＝0或sin B＝2sin A，

①当cos A＝0时，A＝；

②当sin B＝2sin A时，根据正弦定理得b＝2a，

由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcos C，结合c＝2，C＝，得a2＋b2－ab＝4，

∴a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，∴B＝，∴A＝.

综上可得，A＝或.

答案：或

2．(2019年北京卷)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B－C)的值．

解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得

b2＝32＋c2－2×3×c×.

因为b－c＝2，

所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5.

所以b＝7.

(2)由cos B＝－得，sin B＝.

由正弦定理得，sin C＝sin B＝.

由题意得，在△ABC中，∠B是钝角，

所以∠C为锐角．

所以cos C＝＝.

所以sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝.

【例2】　(2019届武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c.

(1)求B；

(2)若b＝2，a＋c＝，求△ABC的面积．

[解]　(1)由正弦定理，知2sin Bcos C＝2sin A＋sin C，

由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2(sin Bcos C＋cos Bsin C)＋sin C，即2cos Bsin C＋sin C＝0.

因为sin C≠0，所以cos B＝－.

因为0<B<π，所以B＝.

(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

可知b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，

因为b＝2，a＋c＝，

所以22＝()2－2ac－2accos ，得ac＝1.

所以S△ABC＝acsin B＝×1×＝.

►名师点津

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bc·sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

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3．(2019年全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．

解析：解法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.

解法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.

答案：6

4．(2019届辽宁五校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，且sin2A＋sin2B－sin2C＋sin Asin B＝0.

(1)求证：a，b，2a成等比数列；

(2)若△ABC的面积是2，求c.

解：(1)∵A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sin Acos(A＋B)，

∴sin B＝－2sin Acos C，

∴在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acos C，

∵sin2A＋sin2B－sin2C＋sin Asin B＝0，

∴由正弦定理可得，a2＋b2－c2＋ab＝0，

∴cos C＝＝－.又∵0<c<π，∴C＝，

∴b＝a，则b2＝2a2＝a·2a，

∴a，b，2a成等比数列．

(2)△ABC的面积S＝absin C＝ab＝2，则ab＝4，

由(1)知，b＝a，联立两式解得a＝2，b＝2，

∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2×＝20，

∴c＝2.

【例3】　(2019届佛山质检)如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.

(1)若AC＝，求△ABC的面积；

(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin ∠CAD．

[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，

即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝(负值舍去)，

所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin ∠ABC＝×1××＝.

(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝， ①

在△ABC中，∠BAC＝－θ，

∠BCA＝π－－＝θ－，

由正弦定理得＝，

即＝， ②

①②两式相除，得＝，

即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.

又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin θ＝，即sin ∠CAD＝.

►名师点津

平面图形中计算问题的解题关键及思路

求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．

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5．(2019届洛阳市第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.

(1)求CD；

(2)求∠ABC．

解：(1)在△BCD中，

S＝BD·BC·sin∠CBD＝，

∵BC＝2，BD＝3＋，

∴sin ∠CBD＝.

∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.

在△BCD中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，∴CD＝3.

(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，

即＝，解得sin ∠BDC＝.

∵BC<BD，∴∠BDC为锐角，

∴cos ∠BDC＝.

在△ACD中，由正弦定理得＝，

即＝. ①

在△ABC中，由正弦定理得＝，

即＝ .②

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠BAC．

由①②得＝，解得sin ∠ABC＝.

∵∠ABC为锐角，

∴∠ABC＝45°.

【例】　(2020届陕西摸底)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(，－2sin B)，n＝，m∥n，B为锐角．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．

[解]　(1)因为m＝(，－2sin B)，

n＝，m∥n，

所以cos 2B＋2sin B＝0，

所以cos 2B＋sin 2B＝0，

所以2sin＝0.

又B为锐角，所以B＝.

(2)由(1)知B＝，在△ABC中，b＝2，

由正弦定理＝＝，

得a＝sin A，c＝sin C．

又A＋C＝π－B＝，

所以S△ABC＝acsin B

＝×sin A×sin×

＝

＝

＝

＝＋

＝sin＋，

当且仅当2A－＝，即A＝时，△ABC的面积有最大值，为.

►名师点津

涉及三角形中的最值、范围问题多与基本不等式求最值及三角函数的有界性交汇，求解时注意交汇知识应用的条件．

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(2020届贵阳摸底)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcos B＝acos C＋ccos A.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

解：(1)∵2bcos B＝acos C＋ccos A，∴由正弦定理得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A，

∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin B，又sin B≠0，∴2cos B＝1，∴cos B＝.又B∈(0，π)，∴B＝.

(2)∵b＝2，B＝，

∴由余弦定理得4＝b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，即ac≤4(当且仅当a＝c＝2时“＝”成立)，

∴S△ABC＝acsin B＝ac≤×4＝，

∴当且仅当a＝c＝2时，△ABC的面积取得最大值.