人教版高考数学一轮复习第5章平面向量第2节平面向量基本定理及坐标表示学案理含解析

第二节　平面向量基本定理及坐标表示

‖知识梳理‖

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ ．

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

►常用结论

1．能作为基底的两个向量必须是不共线的．

2．向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标为终点坐标减去起点坐标，故平移后向量的坐标不变．

3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)

(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC．(　　)

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)

(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、走进教材

2．(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为一组基底的是(　　)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

答案：B

3．(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)

A．(2，2) B．(3，－1)

C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)

答案：A

三、易错自纠

4．(2019届安徽示范性高中二模)△ABC内一点O满足＋2＋3＝0，直线AO交BC于点D，则(　　)

A．2＋3＝0 B．3＋2＝0

C．－5＝0 D．5＋＝0

解析：选A　因为△ABC内一点O满足＋2＋3＝0，直线AO交BC于点D，

所以＋＋＝0.

令＝＋，则＋＝0，

所以B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，所以D，E重合．

所以＋5＝0，所以2＋3＝2－2＋3－3＝－－5＝0.故选A．

5．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．

解析：∵＝－＝(－3，2)，

∴＝2＝(－6，4)．

∵＝＋＝(－2，7)，

∴＝3＝(－6，21)．

答案：(－6，21)

6.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

解析：由题意，得＝(＋)＝＋.

因为M，O，N三点共线，

所以＋＝1.

所以m＋n＝2.

答案：2

|题组突破|

1．(2020届惠州调研) 在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)

A．＋ B．－－

C．－ D．－＋

解析：选C　解法一：因为E是DC的中点，所以＝＝.因为F是BC的中点，所以＝＝－，所以＝＋＝－，故选C．

解法二：如图，连接BD，因为E，F分别是DC，BC的中点，所以＝＝(－)＝－，故选C．

2．直线l与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于点K.若＝2，＝3，＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)

A．2 B．

C．3 D．5

解析：选D　∵＝2，＝3，＝λ，∴＝＝(＋)＝(2＋3)＝＋.∵E，F，K三点共线，∴＋＝1，∴λ＝5.故选D．

3.如图，已知在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＋n＝(　　)

A．－ B．－

C．－ D．

解析：选B　依题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴＝＋＝＋＝－＋＝－＋＋＝－.∵＝m＋n，∴m＝，n＝－，∴m＋n＝－＝－.故选B．

►名师点津

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．

|题组突破|

4．(2019届福建模拟)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于(　　)

A．(5，7) B．(5，9)

C．(3，7) D．(3，9)

解析：选D　2a＋b＝2×(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D．

5．已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A．2 B．－2

C．3 D．－3

解析：选A　如图所示，建立平面直角坐标系xOy，

则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．

因为＝λ＋μ，

所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，

所以解得

所以λ＋μ＝2.故选A．

6．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)

A．(－23，－12) B．(23，12)

C．(7，0) D．(－7，0)

解析：选A　由题意，得3a－2b＋c＝3(5，2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0，0)，

所以解得所以c＝(－23，－12)．

►名师点津

1．向量坐标运算的策略

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．

(3)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

2．向量问题坐标化

当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．

●命题角度一　利用两向量共线求参数

【例1】　(2018年全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．

[解析]　因为2a＋b＝(4，2)，又c∥(2a＋b)，

所以4λ＝2，解得λ＝.

[答案]　

●命题角度二　利用两向量共线求坐标

【例2】　已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．

[解析]　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，

∴＝2.

设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，

∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，

∴解得故点D的坐标为(2，4)．

[答案]　(2，4)

●命题角度三　三点共线问题

【例3】　已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)

A．－ B．

C． D．

[解析]　＝－＝(4－k，－7)，

＝－＝(－2k，－2)．

因为A，B，C三点共线，所以和共线，

所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.

[答案]　A

►名师点津

1．向量共线的两种表示形式

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)a∥b⇒a＝λb(b≠0)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用(2)．

2．两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．

|跟踪训练|

1．设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(　　)

A．2 B．3

C．4 D．6

解析：选B　由向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，可得4x＝2×6，解得x＝3.

2．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．

解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，

得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，

所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.

又点P在直线x－2y＝0上，

故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.

答案：－

平面向量基本定理及坐标运算常与最值范围创新考查，该类题型命题角度新颖，综合能力强，多为选择、填空的压轴题．

【例】　(2019届重庆一中月考)给定两个单位向量，，且·＝－，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，＝x＋y，则x－y的最小值为(　　)

A．－ B．－1

C．－2 D．0

[解析]　由单位向量，，且·＝－，得∠AOB＝.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(1，0)，B，即B.设∠AOC＝α，

则＝(cos α，sin α)．

因为＝x＋y，所以

所以所以x－y＝(cos α＋sin α)－2sin α＝cos α＋sin α＝2sin.

因为0≤α≤，所以≤α＋≤，

所以sin∈，

所以x－y∈[－1，2]，

所以x－y的最小值为－1，故选B．

[答案]　B

►名师点津

解决平面向量基本定理及坐标运算与最值范围的创新问题的2种方法

(1)临界分析法：即充分利用平面向量的几何定义，结合图形，临界分析，多用到共线问题．

(2)坐标法：即数形结合，建立恰当的坐标系后，寻求所求量的目标函数，转化为函数的最值问题．

|跟踪训练|

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.点C在以点O为圆心的圆弧上移动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A．3 B．4

C．2 D．8

解析：选C　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B.设∠AOC＝α，则＝(cos α，sin α)．∵＝x＋y＝(x，0)＋＝(cos α，sin α)，

∴∴

∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．

∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°，

∴当α＝60°时，x＋y有最大值2，故选C．