人教版高考数学一轮复习第7章不等式第1节不等关系与一元二次不等式学案理含解析

第一节　不等关系与一元二次不等式

‖知识梳理‖

1．两个实数比较大小的依据

(1)a－b>0⇔a>b.

(2)a－b＝0⇔a＝b.

(3)a－b<0⇔a<b.

2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a.

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.

(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.

(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．

(6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

►常用结论

1．由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔

2．倒数性质的几个必备结论

(1)a>b，ab>0⇒<.

(2)a<0<b⇒<.

(3)a>b>0，0<c<d⇒>.

(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

3．两个重要不等式

若a>b>0，m>0，则

(1)<；>(b－m>0)．

(2)>；<(b－m>0)．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)

(2)若>1，则a>b.(　　)

(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)

(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)

(5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)

(6)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√

二、走进教材

2．(必修5P74例1改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)

A．> B．<

C．> D．<

答案：B

3．(必修5P103A2改编)已知集合A＝，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　　)

A．(－2，3) B．(－2，2)

C．(－2，2] D．[－2，2]

答案：C

三、易错自纠

4．设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)

A．ac>bc B．<

C．a2>b2 D．a3>b3

解析：选D　当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确；当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，故选D．

5．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)

C．

D．∪(1，＋∞)

解析：选C　①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意．

②当m≠－1时，则解得m<－.

6．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是______________．

解析：由题意得Δ＝a2－16≥0，即a2≥16，

所以a的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)

|题组突破|

1．(2019届广东期末)设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．< B．>

C．a>b2 D．a2>2b

解析：选C　对于A，当a为正数，b为负数时，>，所以A错误；对于B，当a＝2，b＝时，<，所以B错误；对于C，因为1>b>－1⇒b2<1，且a>1，所以C正确；对于D，当a＝1.1，b＝0.8时，a2＝1.21，2b＝1.6，a2<2b，所以D错误．

2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A　若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1.所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．

3．若a＝，b＝，则a________(填“>”或“<”)b.

解析：易知a，b都是正数，＝＝log89>1，所以b>a.

答案：<

4．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．

解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以<；

当q>0且q≠1时，

－＝－

＝＝<0，

所以<.综上可知<.

答案：<

►名师点津

比较大小的方法

(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．

(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．

(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．

(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．

|题组突破|

5．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集为(　　)

A．{x|－2<x<1} B．{x|x<－2或x>1}

C．{x|0<x<3} D．{x|x<0或x>3}

解析：选C　由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0. ①

又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则a<0，且－1，2分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

由根与系数的关系得即 ②

将①两边同除以a得x2＋x＋<0， ③

将②代入③得x2－3x<0，解得0<x<3，故选C．

6．(2019届扬州中学调研)已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．

解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，所以a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x<4，解得0≤x<4；当x<0时，由－x2－3x<4，解得x<0，所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4)．

答案：(－∞，4)

7．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

解：原不等式可变为(ax－1)(x－1)<0，

因为a>0，所以a(x－1)<0.

所以当a>1时，解集为；

当a＝1时，解集为∅；

当0<a<1时，解集为.

综上，当0<a<1时，不等式的解集为；

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a>1时，不等式的解集为.

►名师点津

解一元二次不等式的一般步骤

[提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．

——多维探究

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．

常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数的范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．

●命题角度一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参

数的范围

【例1】　已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解]　要使不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，

则函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．

当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；

当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，

即

不等式组的解集为空集，即m无解．

综上可知，不存在这样的实数m使不等式恒成立．

●命题角度二　形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数的范围

【例2】　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，

则mx2－mx＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立，

即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．

有以下两种方法：

解法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．

当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，

所以m<，则0<m<；

当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，所以m<6，则m<0.

综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪.

解法二：因为x2－x＋1＝＋>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．

因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.

●命题角度三　形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围

【例3】　对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．

[解]　f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m

＝(x－2)m＋x2－4x＋4，

令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，

由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，

∴

解得x<1或x>3.故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零．

►名师点津

形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路

(1)x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．

(2)x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．

(3)已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

[提醒]　解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．

|跟踪训练|

函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．

解：(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，

∴实数a的取值范围是[－6，2]．

(2)对于任意x∈[－2，2]，f(x)≥a恒成立，

即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，

则有①Δ＝a2－4(3－a)≤0或②或③

解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6.

综上可知，实数a的取值范围为[－7，2]．

(3)令h(a)＝xa＋x2＋3，

要使当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，

只需即

解得x≤－3－或x≥－3＋.

∴实数x的取值范围是(－∞，－3－ ]∪[－3＋，＋∞)．

【例】　(2017年天津卷)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A． B．

C．[－2，2] D．

[解析]　作出函数f(x)的大致图象如图，若不等式f(x)≥在R上恒成立，则y＝f(x)的图象恒在y＝图象的上方(含交点)，当y＝＋a与y＝x＋在x>1相切时，a＝2；当y＝－－a与y＝x2－x＋3在x≤1相切时，x2－x＋3＝－－a，x2－x＋3＋a＝0有两个相等的根，则Δ＝－4(3＋a)＝0，解得a＝－，由图象可得a的取值范围是.

[答案]　A

►名师点津

解决不等式恒成立问题可结合图形求解．

|跟踪训练|

(2019年天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　)

A．[0，1] B．[0，2]

C．[0，e] D．[1，e]

解析：选C　当x≤1时，此时f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a≥0恒成立，二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，

所以当a≥1时，f(x)min＝f(1)＝1>0恒成立；

当a<1时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，解得0≤a≤2，∴0≤a<1.

综上，a≥0.

当x>1时，此时f(x)＝x－aln x≥0恒成立，

即a≤恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1<x<e时，g′(x)<0；当x>e时，g′(x)>0，

∴g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e.

综上，a的取值范围是0≤a≤e，即[0，e]．故选C．