人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第3节圆的方程学案理含解析

第三节　圆的方程

‖知识梳理‖

1．圆的定义和圆的方程

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；

(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．

►常用结论

1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是

2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)

(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)

(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(必修2P124A1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)

A．(2，3)，3 B．(－2，3)，

C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，

答案：D

3．(必修2P130例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

答案：C

三、易错自纠

4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．

解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<.

答案：

5．已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1，2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是________．

解析：将圆的方程配方得＋(y＋1)2＝，则4－3a2>0，即－<a<.又由题意知点A在圆外，得>，化简得a2＋a＋9>0，a∈R，故a的取值范围是.

答案：

6．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是________．

解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

答案：x2＋(y－2)2＝1

|题组突破|

1．已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)

A．＋y2＝ B．＋y2＝

C．＋y2＝ D．＋y2＝

解析：选C　解法一(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即圆E的标准方程为＋y2＝.

解法二(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．

又圆E的圆心在x轴的正半轴上，

所以圆E的圆心坐标为.

所以圆E的半径为|EB|＝ ＝，

所以圆E的标准方程为＋y2＝.

2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，

设C(a，0)，且a>0，

由圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，

解得a＝2，所以C(2，0)，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，

所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

答案：(x－2)2＋y2＝9

3．(2019年北京卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．

解析：因为抛物线的标准方程为y2＝4x，所以焦点F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.因为所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.

答案：(x－1)2＋y2＝4

►名师点津

1．求圆的方程的两种方法

[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

2．确定圆心位置的方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．

【例】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

►名师点津

求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法

(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．

(2)定义法：根据圆的定义写出方程．

(3)几何法：利用圆的性质列方程．

(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

|跟踪训练|

从圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)

A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0

C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0

解析：选D　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D．

【例】　(2019届四川省宜宾市高三适应性考试)若动点P在直线a：x－2y－2＝0上，动点Q在直线b：x－2y－6＝0上，记线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋1)2≤5，则x＋y的取值范围为________．

[解析]　由题意知，直线a：x－2y－2＝0与直线b：x－2y－6＝0平行．

因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，

所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上．

设该直线为l，则直线l的方程为x－2y－4＝0.

因为线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋1)2≤5，所以点M(x0，y0)在圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5的内部或在圆上．

设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．

联立直线l与圆的方程，得解得A(4，0)，B(0，－2)．

因为x＋y＝|OM|2，x＋y表示的几何意义为线段AB上的点到原点的距离的平方，

所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x＋y的最小值为＝，当M与A重合时，x＋y取得最大值，且最大值为42＋02＝16，即x＋y的最大值为16，所以x＋y的取值范围是.

[答案]　

►名师点津

求解与圆有关的最值、范围问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为

|跟踪训练|

已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)

A．2，2－ B．2＋，2－

C．，4－ D．＋1，－1

解析：选B　由题意知|AB|＝＝，

lAB：2x－y＋2＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，

∴圆心到直线lAB的距离d＝＝.

∴S△PAB的最大值为××＝2＋，

S△PAB的最小值为××＝2－.