人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第6节双曲线学案理含解析

第六节　双曲线

‖知识梳理‖

1．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：

(1)在平面内．

(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数．

(3)非零常数小于|F1F2|.

2．双曲线的标准方程和几何性质

►常用结论

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.

4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.

5．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴顶点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)

(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

二、走进教材

2．(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．

答案：x2－y2＝8

3．(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．

答案：6

三、易错自纠

4．双曲线－＝1(0<m<3)的焦距为(　　)

A．6 B．12

C．36 D．2

解析：选B　由题意得c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，∴双曲线的焦距为12.

5．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)

A．2 B．2

C． D．1

解析：选A　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点为(±4，0)，故焦点到渐近线的距离d＝2.

6．(2019年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．

解析：因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－＝1，解得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.

答案：y＝±x

|题组突破|

1．(2019届唐山模拟)已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　)

A．1 B．

C．2 D．

解析：选A　不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2，所以△F1PF2的面积S＝mn＝1，故选A．

2．(2020届合肥调研)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　)

A．－＝1

B．－＝1或－＝1

C．－＝1

D．－＝1或－＝1

解析：选D　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1；当焦点在y轴上时，＝，所以b＝2，所以双曲线的方程为－＝1.综上所述，该双曲线的方程为－＝1或－＝1，故选D．

3．(2020届陕西摸底)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为(　　)

A．13 B．12

C．11 D．10

解析：选C　由题意得双曲线的实半轴长a＝2，虚半轴长b＝.根据双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝4①，|BF2|－|BF1|＝2a＝4　②，①＋②得|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋8＝|AB|＋8.又|AB|min＝＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最小值为11，故选C．

►名师点津

1．双曲线定义的应用策略

(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．

(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．

(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．

2．求双曲线标准方程的2种方法

(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．

(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

●命题角度一　已知离心率求渐近线方程

【例1】　(2018年全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

[解析]　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0.

又∵离心率＝＝，

∴a2＋b2＝3a2.∴ b＝a(a>0，b>0)．

∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选A．

[答案]　A

●命题角度二　已知渐近线求离心率

【例2】　(1)(2019年浙江卷)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)

A． B．1

C． D．2

(2)(2019年全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为(　　)

A．2sin 40° B．2cos 40°

C． D．

[解析]　(1)因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C．

(2)依题意知，－＝tan 130°＝tan(130°－180°)＝－tan 50°，两边平方得＝tan250°＝e2－1，即e2＝1＋tan250°＝，又e>1，∴e＝，故选D．

[答案]　(1)C　(2)D

●命题角度三　由离心率或渐近线求双曲线方程

【例3】　(2019届重庆市第一次调研抽测)已知抛物线y2＝－4x的准线l过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F，且该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，则该双曲线的方程为(　　)

A．－y2＝1 B．x2－＝1

C．－＝1 D．－＝1

[解析]　由题意知，抛物线y2＝－4x的准线l：x＝，因为抛物线y2＝－4x的准线l过双曲线－＝1的一个焦点F，所以F(，0)，所以a2＋b2＝5.因为该双曲线的一条渐近线过点P(1，－2)，所以－2＝－，所以b＝2a，所以a＝1，b＝2，所以该双曲线的方程为x2－＝1，故选B．

[答案]　B

►名师点津

解决有关渐近线与离心率关系问题的2个注意点

(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．

(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．

【例4】　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±2x D．y＝±4x

[解析]　由题意得，渐近线方程为y＝±x，设垂直于直线l的渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率k1＝－，则直线l的方程为y＝－，整理可得，ax＋by－a2＝0，焦点(c，0)到直线l的距离d＝＝，则|MN|＝2＝2＝c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，即(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0.又双曲线的离心率e>1，所以e＝2.又a2＋b2＝c2，e＝，所以b＝a，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选B．

[答案]　B

►名师点津

直线与双曲线位置关系的判断方法

直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．

|跟踪训练|

过双曲线x2－＝1的一个焦点作直线l，交双曲线于A，B两点．若|AB|＝4，则这样的直线有(　　)

A．4条 B．3条

C．2条 D．1条

解析：选B　当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时，弦长|AB|的最小值为实轴长2a＝2；当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时，弦长|AB|的最小值为通径长＝4.根据双曲线的对称性可知，若|AB|＝4，则当直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点时，这样的直线有2条；当直线l与双曲线的其中一支有两个交点时，这样的直线有1条．综上，若|AB|＝4，则这样的直线有且仅有3条．

【例】　(2020届成都摸底)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)

A．

B．(，)

C．∪(，＋∞)

D．(1，)∪(，＋∞)

[解析]　由双曲线定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以|MF2|＝|MF1|＋2a.又|MF2|＋|MN|＞4b恒成立，所以|MF1|＋|MN|＋2a＞4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＞4b－2a恒成立．

(|MF1|＋|MN|)min＞4b－2a.由平面几何知识，得当MF1⊥x轴时，|MF1|＋|MN|取得最小值，所以＞4b－2a，即3·－8·＋4＞0，解得0＜＜或＞2.又e＝＝，所以e∈∪(，＋∞)，故选C．

[答案]　C

►名师点津

求解双曲线离心率的取值范围

(1)几何法：借助平面几何图形中的不等关系(线段长度、角度、斜率等)，如焦半径|PF1|∈[c－a，＋∞)或|PF1|∈[a＋c，＋∞)、三角形中两边之和大于第三边、渐近线等．

(2)不等式法：借助题目中给出的不等信息．

(3)代数法：借助函数的值域求解范围．

|跟踪训练|

(2019届长春市第二次质量监测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A． B．

C．(1，2] D．

解析：选B　由|PF1|＝4|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝≥c－a，故c≤＋a＝，则e＝≤.又因为双曲线的离心率e>1，所以1<e≤.