人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第7节抛物线学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第7节抛物线学案理含解析，共9页。学案主要包含了疑误辨析，走进教材，易错自纠等内容，欢迎下载使用。
第七节　抛物线[最新考纲][考情分析][核心素养]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单性质.　　抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题，有时出现解答题，分值为5～12分.数学运算‖知识梳理‖1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质  标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋►常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．(3)＋＝.(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、走进教材2．(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是______________．答案：y2＝－x或x2＝y3．(选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．答案：2三、易错自纠4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)A． B．－C．4 D．－4解析：选B　由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程为y＝－＝1，解得a＝－.5．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案：y2＝4x6．已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________________________________________．解析：由题知，直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.则抛物线方程为y2＝4x，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)|题组突破|1．(2019届南昌市一模)抛物线y＝2x2的准线方程是(　　)A．x＝ B．x＝－C．y＝ D．y＝－解析：选D　抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－，故选D．2．(2019届湖北四地七校3月联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x解析：选D　因为AB⊥x轴，且AB过焦点F，所以线段AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或p＝－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D．3．(2019届安徽省五校二检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在抛物线C上，且|PF|＝，则p＝(　　)A． B．C． D．1解析：选B　抛物线的准线方程为y＝－，因为P在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选B．►名师点津求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：(1)到焦点与定点的距离之和最小问题；(2)到点与准线的距离之和最小问题；(3)焦点弦中的距离之和最小问题．●命题角度一　到焦点与定点的距离之和最小问题【例1】　(2019届重庆模拟)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是(　　)A．6 B．5C．4 D．3[解析]　由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A．[答案]　A●命题角度二　到点与准线的距离之和最小问题【例2】　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．[解析]　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝＝.[答案]　●命题角度三　焦点弦中的距离之和最小问题【例3】　已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．[解析]　由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.[答案]　2►名师点津与抛物线有关的最值问题的2个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．|跟踪训练|1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(　　)A．2－1 B．2－2C．－1 D．－2解析：选C　由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0，4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1，0)．由抛物线的几何性质可得点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.故选C．2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为(　　)A．6 B．2＋4C．2 D．4解析：选C　由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2，0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4，0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2.【例4】　(2019年全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.[解]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)．B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，所以x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.从而－＝，解得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2.由可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入抛物线C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝.►名师点津直线与抛物线相交问题处理规律1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．2．对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答，并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．3．对于抛物线x2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y＝得k＝y′＝.|跟踪训练|3．(2020届惠州调研)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则|FN|＝(　　)A． B．C． D．1解析：选A　解法一：因为抛物线C：y＝2x2，所以F0，，抛物线C的准线方程为y＝－.如图，过点M作抛物线准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以＝.因为2＝，所以|MA|＝×＝，|MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝，故选A．解法二：因为抛物线y＝2x2，所以F.设N(x0，0)，则由2＝得M，代入抛物线方程，得＝2，解得x＝，则|FN|＝＝ ＝，故选A．4．(2019届武汉市武昌区高三调考)过抛物线E：x2＝4y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，抛物线在M，N两点处的切线交于点P.(1)证明：点P落在抛物线E的准线上；(2)设＝2，求△PMN的面积．解：(1)证明：抛物线x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程x2＝4y中，整理得x2－4kx－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.对y＝x2求导，得y′＝x，所以直线PM的方程为y－y1＝x1(x－x1)， ①直线PN的方程为y－y2＝x2(x－x2)． ②联立方程①②，消去x，得y＝－1.所以点P落在抛物线E的准线上．(2)因为＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1)，且＝2，所以又由(1)知，x1·x2＝－4，解得x＝8，x＝2.不妨取M(2，2)，N，则由①②得P.易得|MN|＝，点P到直线MN的距离d＝，所以△PMN的面积S＝××＝.【例】　(2019届郑州市第一次质量预测)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为(　　)A． B．1C． D．2[解析]　如图，过A，B两点分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P.设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线的定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，在△ABF中，由余弦定理得，|AB|2＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab，即|AB|2＝(a＋b)2－3ab.因为ab≤，所以|AB|2＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－3＝，即|AB|≥，所以≥＝1，故选B．[答案]　B►名师点津抛物线常与平面向量、三角、不等式、导数的几何意义等知识交汇应用，求解时注意利用条件，结合图形分析转化．|跟踪训练|抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上两动点，若|AB|＝(x1＋x2＋2)，则∠AFB的最大值为(　　)A． B．C． D．解析：选A　因为|AB|＝(x1＋x2＋2)，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|＝|AB|.在△AFB中，由余弦定理得cos∠AFB＝＝＝－1＝－1.又|AF|＋|BF|＝|AB|≥2⇒|AF|·|BF|≤|AB|2，所以cos∠AFB≥－1＝－，所以∠AFB的最大值为.故选A．