人教版高考数学一轮复习第9章解析几何第5节椭圆学案理含解析

第五节　椭　圆

‖知识梳理‖

1．椭圆的定义

平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．

(1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；

(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

 ►常用结论

1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0.

(2)＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0.

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.

4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则

(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.

(2)直线AB的斜率kAB＝.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)

(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)

(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)

(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)

(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)

(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√

二、走进教材

2．(选修2－1P49T1改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________．

答案：＋＝1

3．(选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________．

答案：或

三、易错自纠

4．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)

A．＋y2＝1 B．＋＝1

C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对

解析：选C　直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，

由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，

∴a2＝5，∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；

当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，

∴a2＝5，∴所求椭圆标准方程为＋＝1.

5．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)

A．－21 B．21

C．－或21 D．或－21

解析：选D　当9>4－k>0，即4>k>－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴＝，解得k＝；

当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，

∴＝，解得k＝－21，

∴k的值为或－21.

6．(2019届深圳模拟)过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

解析：选C　 由椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±，0)，可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则＋＝1.又a2－b2＝5，所以b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C．

|题组突破|

1．设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)

A．2 B．2

C．4 D．4

解析：选C　设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，

由题意得，|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF2|，

所以四边形AFBF2是平行四边形，所以|BF|＝|AF2|.

故|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF2|＝2a＝4.

2．(2019届湖南湘潭联考)已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为椭圆C上的一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)

A． B．

C．4 D．

解析：选D　设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′，则F′(2，0)，F(－2，0)．

由A，得|AF′|＝.

根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF′|＝2a＝6，

所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|≥6－|AF′|＝6－＝.

3．(2019年全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋y2＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

解析：选B　设|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，

由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x.

在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1，              ①

在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，

即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1， ②

由①②得x＝，所以2a＝4x＝2，a＝，

所以b2＝a2－c2＝2.

所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B．

4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．

解析：解法一：由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，

∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.

∵⊥，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，

∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2，

∴|PF1|·|PF2|＝2b2.

∵S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝9，

∴b＝3.

解法二：由结论S△PF1F2＝9＝b2tan ＝b2tan ＝b2，得b＝3.

答案：3

►名师点津

(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．

(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．

|题组突破|

5．(2020届陕西摸底)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)

A．2－ B．－

C．－1 D．－

解析：选D　设|PF1|＝|PQ|＝m(m＞0)，则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.由题意知，△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a.因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(4a－2a)2＋[2a－(4a－2a)]2＝4c2，整理得4×2＝36－24，即＝＝－，故选D．

6．(2019年北京卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)

A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2

C．a＝2b D．3a＝4b

解析：选B　由题意知e2＝＝，

整理得3a2＝4b2，故选B．

7．(2019年全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

解析：不妨设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程＋＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，|F2M|＝4.

设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，

则

解得x0＝3，y0＝，即M(3，)．

答案：(3，)

►名师点津

求椭圆离心率的3种方法

(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．

(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根．

【例】　(2019届重庆市第一次调研抽测)已知离心率为的椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，且·＝－1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于M，N两点，且直线l与x轴不垂直，若D为x轴上一点，||＝||，求的值．

[解]　(1)A1，A2，B的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，(0，b)，则＝(－a，－b)，＝(a，－b)，

∴·＝(－a，－b)·(a，－b)＝b2－a2＝－1，

∴c2＝1.

又e＝＝，∴a2＝4，b2＝3.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由(1)知F(－1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

∵直线l与x轴不垂直，∴可设其方程为y＝k(x＋1)．

当k＝0时，易得|MN|＝4，|DF|＝1，∴＝4.

当k≠0时，联立得

得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|MN|＝|x1－x2|＝＝.

又y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝，

∴MN的中点坐标为.

∴MN的垂直平分线方程为

y－＝－(k≠0)，

令y＝0得，x＋＝0，解得x＝－.

∴|DF|＝＝，∴＝4.

综上所述，＝4.

►名师点津

(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决往往会更简单．

(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k为直线的斜率)．

[提醒]　利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

|跟踪训练|

(2019年江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|＝.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求点E的坐标．

解：(1)设椭圆C的焦距为2c.

因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以|F1F2|＝2，即c＝1.

又因为|DF1|＝，AF2⊥x轴，

所以|DF2|＝＝＝.

因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2.

由b2＝a2－c2，得b2＝3.

因此，椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2.

因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4.

因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．

又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.

由得5x2＋6x－11＝0，

解得x＝1或x＝－.

将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－.

因此B.

又F2(1，0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．

由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.

将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.

因此E.

【例】　(1)(2019届河南名校压轴第二次考试)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个顶点为M，直线l：5x－12y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

(2)(2019届江苏盐城中学考前热身)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．

[解析]　(1)(用几何法求离心率的取值范围)如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，所以6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，所以a＝3.

取M(0，b)，因为点M到直线l的距离不小于，

所以≥，解得b≥1.

所以e＝＝≤ ＝.

所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A．

(2)(用直接法求离心率的取值范围)设P(x，y)，则＋＝1，y2＝b2－x2，－a≤x≤a.

因为＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，

所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2.

因为－a≤x≤a，

所以b2－c2≤·≤b2，所以b2－c2≤c2≤b2.

所以2c2≤a2≤3c2.

所以≤≤，即≤e≤.

[答案]　(1)A　(2)

►名师点津

求椭圆离心率范围的2种方法

|跟踪训练|

(2019届湖南长沙长郡中学模拟)已知椭圆x2＋＝1(0<b<1)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P(m，n)在直线y＝－x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选A　由题意知，F(－c，0)，A(0，b)，B(1，0)，设△FAB的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋M＝0，将F(－c，0)，A(0，b)，B(1，0)的坐标分别代入外接圆的方程可得解得故外接圆的方程为x2＋y2＋(c－1)x＋y－c＝0，即＋＝，故m＝，n＝，由题意得m＋n<0，即＋<0，即1－c＋b－<0⇒b－c＋<0，所以b－c<0，即b2<c2⇒e2>，所以<e<1.