人教版高考数学一轮复习第10章统计与统计案例第1节随机抽样学案理含解析

第一节　随机抽样

‖知识梳理‖

1．简单随机抽样

(1)抽取方式：逐个不放回地抽取；

(2)特点：每个个体被抽到的概率相等；

(3)常用方法：抽签法和随机数法．

2．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

3．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)先将总体的N个个体编号．

(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝.

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大．(　　)

(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样．(　　)

(3)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体．(　　)

(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　　)

(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)

(6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样的方法抽取．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√

二、走进教材

2．(必修3P100A1改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)

A．总体

B．个体

C．样本的容量

D．从总体中抽取的一个样本

答案：A

3．(必修3P100A2(2)改编)一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．

答案：

三、易错自纠

4．从2 017名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 017名学生中剔除17名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率(　　)

A．不全相等　　  B．均不相等

C．都相等，且为 D．都相等，且为

解析：选C　若从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于.

5．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为(　　)

A．27 B．30

C．33 D．36

解析：选B　因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×＝30.

|题组突破|

1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是(　　)

A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样

B．这次抽样一定没有采用系统抽样

C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率

D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率

解析：选A　这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C、D均错误．故选A．

2．(2019届上饶模拟)已知总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第8个个体的编号为(　　)

附：第6行至第9行的随机数表：

16 22 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64

84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76

63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79

33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54

A．17 B．20

C．23 D．37

解析：选B　从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，符合条件的依次为39，49，43，17，37，23，35，20，故第8个数为20.

3．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1

C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3

解析：选D　由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.

►名师点津

一个抽样试验用抽签法的2个注意事项

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

|题组突破|

4．(2019届江西八校联考)从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为(　　)

A．480 B．481

C．482 D．483

解析：选C　根据系统抽样的定义可知，样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以an＝7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，所以最大编号为7＋25×19＝482.

5．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1，2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为(　　)

A．12 B．13

C．14 D．15

解析：选A　根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝＝20的等差数列{an}，∴通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12.令751≤20n－12≤1 000，解得≤n≤.又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做问卷C的共有12人．

6．(2019年全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)

A．8号学生 B．200号学生

C．616号学生 D．815号学生

解析：选C　由系统抽样可知，第一组学生的编号为1～10，第二组学生的编号为11～20，…，最后一组学生的编号为991～1 000.设第一组取到的学生编号为x，则第二组取到的学生编号为x＋10，以此类推，所取的学生编号为10的倍数加x.因为46号学生被抽到，所以x＝6，所以616号学生被抽到，故选C．

►名师点津

解决系统抽样问题的2个关键步骤

(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．

(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

【例】　(2019届洛阳模拟)某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为(　　)

A．80 B．40

C．60 D．20

[解析]　因为要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1，所以三年级要抽取的学生人数是×200＝40.

[答案]　B

►名师点津

分层抽样中的计算问题

分层抽样满足“＝”，即“＝＝…＝或n1∶n2∶…∶n＝N1∶N2∶…∶N”，据此在已知每层间的个体数量或数量比、样本容量、总体数量中的两个时，就可以求出第三个．

|跟踪训练|

某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：

其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．

解析：根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36.

答案：36

【例】　(2019年天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

[解]　(1)由已知，得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．

②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．

所以，事件M发生的概率P(M)＝.

►名师点津

先通过分层抽样确定抽取样本，再根据古典概型确定概率是解决分层抽样与概率问题的关键．

|跟踪训练|

(2019届绵阳模拟)某校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，然后从抽取的5人中随机抽取2人进行深入了解，则抽取的这2人中至少有1人是初级教师的概率为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选A　由题意得，应从高级、中级、初级教师中抽取的人数分别为5×＝1，5×＝2，5×＝2，记A为抽取的高级教师，B1，B2为抽取的中级教师，C1，C2为抽取的初级教师．从抽取的5人中随机抽取2人的所有可能结果有10种，分别为{A，B1}，{A，B2}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，C1}，{B2，C2}，{C1，C2}，记“这2人中至少有1人是初级教师”为事件M，则事件M包含的可能结果有{A，C1}，{A，C2}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，C1}，{B2，C2}，{C1，C2}，共有7种，所以所求概率P(M)＝.