人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第2节排列组合学案理含解析

第二节　排列组合

‖知识梳理‖

1．排列与排列数

(1)排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A．

2．组合与组合数

(1)组合

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C．

3．排列数、组合数的公式及性质

►常用结论

(1)C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．

(2)C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．　　(　　)

(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　)

(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、走进教材

2．(选修2－3P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　)

A．12 B．24

C．64 D．81

答案：B

3．(选修2－3P26知识改编)计算C＋C＋C＋C的值为________(用数字作答)．

答案：210

三、易错自纠

4．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)

A．8 B．24

C．48 D．120

解析：选C　因为末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.

5．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)

解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560(条)毕业留言．

答案：1 560

6．已知－＝，则m＝________．

解析：由已知得，m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}，原等式可化为－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.

答案：2

|题组突破|

1．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻．

解：(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种)．

(3)解法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．

解法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．

(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有AA＝576(种)．

(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有AA＝1 440(种)．

►名师点津

求解排列应用问题的6种主要方法

|题组突破|

2．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？

解：(1)从余下的34种商品中，

选取2种有C＝561(种)取法，

所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．

(2)从34种可选商品中，选取3种，

有C＝5 984(种)或者C－C＝C＝5 984(种)取法．

所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．

(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100(种)取法．

所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．

(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，

选取方式共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)．

所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种．

(5)解法一(间接法)：选取3种商品的总数为C，因此选取方式共有C－C＝6 545－455＝6 090(种)．

所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种．

解法二(直接法)：选取方式共有C＋CC＋CC＝6 090(种)．

所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种．

►名师点津

组合问题常有的2类题型

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

●命题角度一　整体均分问题

【例1】　将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)

A．12种 B．10种

C．9种 D．8种

[解析]　将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法．

故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．

[答案]　A

●命题角度二　部分等分问题

【例2】　安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种 B．18种

C．24种 D．36种

[解析]　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6(种)，再分配给3个人，有A＝6(种)，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．

[答案]　D

●命题角度三　不等分问题

【例3】　若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．

[解析]　将6名教师分组，分三步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；

第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；

第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．

根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60(种)取法．

再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6(种)分法，

故共有60×6＝360(种)不同的分法．

[答案]　360

►名师点津

分组分配问题的三种类型及求解策略

|跟踪训练|

在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别和方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有(　　)

A．96种 B．124种

C．130种 D．150种

解析：选D　∵五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，

∴可以把5个参会国分成三组，一种是按照1，1，3分；另一种是按照1，2，2分．

当按照1，1，3来分时，共有A＝60(种)；当按照1，2，2来分时，共有A＝90(种)．

根据分类加法计数原理，知共有60＋90＝150(种)，故选D．

【例】　(2019届山西太原模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．

[解析]　根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7，14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[－3，3]中的整数．①当公差d＝0时，有C＝8(种)；②当公差d＝±1时，b不取7和14，有2×C＝12(种)；③当公差d＝±2时，b不取7，8，13，14，有2×C＝8(种)；④当公差d＝±3时，b只能取10或11，有2×C＝4(种)．综上，共有8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数法．

[答案]　32

►名师点津

排列、组合应用题常与数列、立体几何、解析几何等知识交汇命题，主要考查学生的逻辑推理能力，求解时注意两个原理的应用．

|跟踪训练|

(2019届江西南昌模拟)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为(　　)

A．12 B．24

C．36 D．48

解析：选D　如图所示的三棱锥中，设6条棱为a，b，c，d，e，f，分析可得a与d，b与f，c与e不能分到同一组，分2步进行分析：①将6种化工产品分成3组，其中a与d，b与f，c与e不能分到同一组，有－3×2－1＝8(种)分组方法；②将分好的三组全排列，对应3个仓库，有A＝6(种)情况，则不同的安全存放的种数有8×6＝48(种)，故选D．