人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第7节n次独立重复试验与二项分布学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第7节n次独立重复试验与二项分布学案理含解析，共9页。学案主要包含了疑误辨析，走进教材，易错自纠等内容，欢迎下载使用。
第七节　n次独立重复试验与二项分布[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些简单的实际问题.　　主要在选择题、填空题中考查条件概率，对相互独立事件及独立重复试验多在解答题中考查，分值为5分左右.1.数学建模2.数学运算‖知识梳理‖1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B).当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝(其中，A∩B也可以记成AB).类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．3．独立重复试验与二项分布 独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率计算公式Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　　)(3)相互独立事件就是互斥事件．(　　)(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√二、走进教材2．(选修2－3P55T3改编)根据天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56答案：C3．(选修2－3P54T2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)A． B．C． D．答案：B三、易错自纠4．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　　)A． B．C． D．解析：选B　因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)A． B．C． D．解析：选B　P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝.|题组突破|1．(2019届石家庄一模)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为(　　)A． B．C． D．解析：选B　设“第二次摸到红球”为事件A，“第一次摸到红球”为事件B，∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝，∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为，故选B．2．(2019届广东汕头模拟)如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF(阴影部分)内”，则P(B|A)＝(　　)A． B．C． D．解析：选B　由已知得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝，故选B．3．(2019届江西南昌模拟)口袋中装有大小形状完全相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．解析：设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝＝＝.答案：►名师点津条件概率的3种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简【例1】　某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．[解析]　依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.[答案]　0.128|变式探究|1．(变问题)保持本例条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________．解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4，5个问题均回答正确，第1，2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.答案：0.046 082．(变问题)保持本例条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________．解析：依题意，设答对的事件为A，则可分为第3个回答正确与错误两类．若第3个回答正确，则有AAAA或 AA两类情况，其概率为0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032；若该选手第3个问题的回答是错误的，则第1，2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.答案：0.104►名师点津利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积公式求解．|跟踪训练|1．(2019年全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场排队依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜，则共比赛了5场，且第5场甲胜，前4场中甲胜3场．第一类：若第1场、第2场中甲胜1场，第3场、第4场甲胜，则P1＝C×0.6×0.4×0.52＝2×××＝；第二类：若第1场、第2场甲胜，第3场、第4场中甲胜1场，则P2＝0.62×C×0.5×0.5＝×2×＝.所以甲队以4∶1获胜的概率为P＝×0.6＝0.18.答案：0.18【例2】　九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：质量/g[5，15)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55]数量4121185(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5，25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列．[解]　(1)由表中数据，可以估计每只九节虾的质量为×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)．因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5，25)间的概率P＝＝，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝C××＝，P(X＝4)＝＝.所以X的分布列为X01234P►名师点津独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．|跟踪训练|2．挑选飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列．解：(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率P甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X～B(3，0.3)，X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝k)＝C(0.3)k·(1－0.3)3－k，k＝0，1，2，3.故P(X＝0)＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，P(X＝3)＝C×0.33＝0.027.故X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027【例】　从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率；(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布N(57，σ2)．①利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于55～57 kg之间的概率；②从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57 kg之间的人数为Y，利用(1)的结论，求Y的分布列．[解]　(1)这400名学生中，体重超过60 kg的频率为(0.04＋0.01)×5＝，由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60 kg的概率为.(2)①∵X～N(57，σ2)，由(1)知P(X>60)＝，∴P(X<54)＝.∴P(54<X<60)＝1－2×＝.∴P(54<X<57)＝×＝，即高一某个学生体重介于54～57 kg之间的概率为.②∵该市高一学生总体很大，∴从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复试验．其中体重介于54～57 kg之间的人数Y～B，P(Y＝i)＝C，i＝0，1，2，3.∴Y的分布列为Y0123P►名师点津求解与二项分布与统计知识交汇问题的关键在于分析条件，确立事件类型．|跟踪训练|一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5，15)，[15，25)，[25，35)，[35，45]，由此得到如图所示的样本的质量频率分布直方图．(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15)内的小球个数为X，求X的分布列和期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，50个样本中小球质量的平均数为x＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的众数为20克，平均数为24.6克．(2)由题意知，该盒子中小球质量在[5，15)内的概率为，则X～B.X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝C×＝，P(X＝1)＝C×＝，P(X＝2)＝C×＝，P(X＝3)＝C×＝.∴X的分布列为X0123P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.