人教版高考数学一轮复习第12章推理与证明算法复数第2节直接证明与间接证明学案理含解析

第二节　直接证明与间接证明

‖知识梳理‖

1．直接证明

2.间接证明

(1)反证法的定义

一般地，由证明p⇒q转向证明﹁q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定﹁q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤

①分清命题的条件和结论；

②做出与命题结论相矛盾的假定；

③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．

3．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

►常用结论

1．反证法不直接证明命题“若p，则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真，肯定命题“若p，则q”为真．

2．在应用反证法证题时，一定要用“反证”进行推理，否则就不是反证法．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)

(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”．(　　)

(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)

(5)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

二、走进教材

2．(选修2－2P89练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝(　　)

A．2sin θ B．2cos θ

C．sin 2θ D．cos 2θ

答案：D

3．(选修2－2P89练习T2改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P>Q B．P＝Q

C．P<Q D．不能确定

答案：A

三、易错自纠

4．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(　　)

A．ac2<bc2 B．a2>ab>b2

C．< D．>

解析：选B　a2－ab＝a(a－b)，

∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，

∴a2>ab. ①

又ab－b2＝b(a－b)>0，

∴ab>b2， ②

由①②得，a2>ab>b2.故选B．

5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：选A　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A．

6．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________．

解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.

答案：a≥0，b≥0且a≠b

【例1】　已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：

(1)＋＋≤；

(2)＋＋≥.

[证明]　(1)∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2＝(a＋b＋c)＋2＋2＋2≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，

∴＋＋≤(当且仅当a＝b＝c时取等号)．

(2)∵a>0，∴3a＋1>1，

∴＋(3a＋1)≥2＝4，

∴≥3－3a，

同理得，≥3－3b，≥3－3c，

以上三式相加得

4≥9－3(a＋b＋c)＝6，

∴＋＋≥当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

►名师点津

掌握综合法证明问题的思路

|跟踪训练|

1．已知a>b>c，求证：＋＋≥0.

证明：因为a>b>c，

所以a－b>0，b－c>0，a－c>0.

所以4(a－b)(b－c)≤[(a－b)＋(b－c)]2＝(a－c)2.

所以≥，即－≥0.

所以＋＋≥0.

【例2】　已知a>0，证明：－≥a＋－2.

[证明]　要证 －≥a＋－2，

只需证 ≥－(2－)．

因为a>0，所以－(2－)>0，

所以只需证≥，

即2(2－)≥8－4，

所以只需证a＋≥2.

因为a>0，所以a＋≥2显然成立(当a＝＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立．

►名师点津

分析法证明问题的适用范围

当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．

|跟踪训练|

2．已知a>0，－>1，求证：> .

证明：由已知－>1及a>0，可知0<b<1，所以要证>，只需证·>1，

即证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1，即－>1，

这是已知条件，所以原不等式得证．

【例3】　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：

(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，

得ab＝1.

(1)由基本不等式及ab＝1，

得a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.

(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，

则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；

同理，0<b<1，从而ab<1，

这与ab＝1矛盾．

故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

►名师点津

反证法证明问题的3步骤

1．反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)

2．推矛盾：从假出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾．

3．得结论：得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．

|跟踪训练|

3．设{an}是公比为q的等比数列．

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

解：(1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn， ②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝，∴Sn＝

(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，都有(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

∴a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

即aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾，

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

●命题角度一　证明等式

【例4】　用数学归纳法证明：

＋＋…＋＝(n∈N*)．

[证明]　①当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，

即＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，

左边＝＋＋…＋＋

＝＋

＝

＝

＝，

右边＝＝，

左边＝右边，等式成立，

由①②可知，对所有n∈N*，原式都成立．

►名师点津

应用数学归纳法证明等式的3个注意点

(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．

(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．

●命题角度二　证明不等式

【例5】　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式·…·>均成立．

[证明]　①当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.

∵>，∴左边>右边，∴不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，

即·…·>，

则当n＝k＋1时，

·…·>·＝

＝>

＝＝.

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．

►名师点津

应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，证明n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．

●命题角度三　归纳—猜想—证明

【例6】　设f(x)＝(x>0)，数列{an}满足a1＝(a>0)，an＋1＝f(an)(n∈N*)．

(1)求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

[解]　(1)∵f(x)＝(x>0)，数列{an}满足a1＝(a>0)，an＋1＝f(an)(n∈N*)，

∴an＋1＝，

∴a2＝，a3＝，a4＝.

猜想an＝.

(2)证明：an＝.

①当n＝1时，由(1)可知成立；

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，

即ak＝，

则当n＝k＋1时，

ak＋1＝＝，

因此n＝k＋1时也成立．

综上可得，an＝对于n∈N*都成立．

►名师点津

利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．