人教版高考数学一轮复习第12章推理与证明算法复数第4节复数学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第12章推理与证明算法复数第4节复数学案理含解析，共7页。学案主要包含了疑误辨析，走进教材，易错自纠等内容，欢迎下载使用。
第四节　复　数[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.　　复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.数学运算‖知识梳理‖1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．►常用结论1．(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．3．z·＝| z |2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.4．复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．5．复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√二、走进教材2．(选修2－2P106A2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)A．1 B．2C．1或2 D．－1答案：B3．(选修2－2P116A1改编)复数的共轭复数是(　　)A．2－i B．2＋iC．3－4i D．3＋4i答案：C三、易错自纠4．设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D　由题意得所以x＝4，y＝－2，所以复数z＝4－2i，位于复平面的第四象限，故选D．5．若复数z＝(其中i为虚数单位)，则z＝(　　)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选B　∵z＝＝＝1＋i，∴z＝1－i，故选B．6．化简：＝________．解析：＝＝＝1－i.答案：1－i|题组突破|1．(2019届开封定位考试)复数z＝，则(　　)A．z的共轭复数为1＋i B．z的实部为1C．|z|＝2 D．z的虚部为－1解析：选D　因为z＝＝＝－1－i，所以复数z的实部和虚部均为－1，＝－1＋i，|z|＝，故选D．2．(2020届四川五校联考)已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为(　　)A．－ B．C．－ D．解析：选A　(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i，由于(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，故解得a＝－，故选A．3．若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)的虚部为1，则|z|＝(　　)A．1 B．2C． D．解析：选C　依题意得，复数z＝＝＋i的虚部为1，所以＝1，解得a＝2，∴z＝1＋i，∴|z|＝，故选C．4．(2020届贵阳摸底)若复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数＝(　　)A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选D　z＝＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i.故选D．►名师点津解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．|题组突破|5．(2019年全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1解析：选C　∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi；x，y∈R.∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C．6．(2019年全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选C　∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．故选C．7．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得，＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)，又＝λ＋μ，∴(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.答案：1►名师点津解决与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式．(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．|题组突破|8．(2019年全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：选D　由题意得，z＝＝＝1＋i，故选D．9．(2019届合肥质检)已知i为虚数单位，则＝(　　)A．5 B．5iC．－－i D．－＋i解析：选A　＝＝5，故选A．10．(2019届贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝(　　)A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i解析：选C　由题意得，z＝－1＝－1－i，故选C．►名师点津复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式【例】　(1)规定＝ad－bc.若在复平面上的三个点A，B，C分别对应复数0，z，zi，其中z满足＝i，则△ABC的面积为(　　)A．25 B．C．5 D．(2)已知不相等的复数z1，z2，设有下面三个命题：p1：若z1＋z2是实数，则z1＝2；p2：若|z1|＝|z2|，则z＝z；p3：若z1＝2，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称．其中真命题的个数为(　　)A．0 B．1C．2 D．3[解析]　(1)由题意，得z－(1＋i)(1－i)＝i，所以z＝2＋i，所以zi＝(2＋i)i＝－1＋2i，则A(0，0)，B(2，1)，C(－1，2)．于是，|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，则有|AB|2＋|AC|2＝10＝|BC|2，即△ABC是等腰直角三角形．所以△ABC的面积为S＝××＝，故选D．(2)当z1＝2，z2＝3时，z1＋z2＝5∈R，但2＝3，z1≠2，故p1错误；当z1＝1＋i，z2＝1－i时，|z1|＝，|z2|＝，|z1|＝|z2|，但z＝2i，z＝－2i，z≠z，故p2错误；设z2＝a＋bi(a∈R，b≠0)，则1＝z2＝a－bi，z1在复平面内对应的点的坐标为(a，－b)，z2在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，点(a，－b)与点(a，b)关于实轴对称，故p3正确．故选B．[答案]　(1)D　(2)B►名师点津与复数有关的交汇问题常与判断命题的真假、数学文化及向量等知识结合，求解时注意复数的概念，几何意义及运算．|跟踪训练|(2019届南昌市一模)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A　根据欧拉公式得ei＝cos ＋isin ＝＋i，它在复平面中对应的点为，位于复平面中的第一象限．故选A．