新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第4节不等式的性质与一元二次不等式学案含解析

第四节　不等式的性质与一元二次不等式

一、教材概念·结论·性质重现

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

①a－b>0⇔a>b；

②a－b＝0⇔a＝b；

③a－b<0⇔a<b.

(2)作商法

①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)；

②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)；

③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0)．

2．不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．

3．一元二次不等式

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

4．三个“二次”间的关系

5.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变． (×)

(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小． (×)

(3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0． (√)

(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R．(×)

2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)

A．M＞N B．M≥N

C．M＜N D．M≤N

A　解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A．

3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝(　　)

A．[－2，－1] B．[－1,2)

C．[－1,1] D．[1,2)

A　解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]．故选A．

4．在所给的四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0中，能推出<的有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

C　解析：<成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．

5．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．

(－3,3)　解析：因为－4＜β＜2，所以0≤|β|＜4，所以－4＜－|β|≤0，所以－3＜α－|β|＜3.

考点1　比较大小与不等式的性质——基础性

1．(2021·山东实验中学高三期中)若a，b是任意实数，且a>b，则(　　)

A．a2＞b2 B．＜1

C．lg(a－b)＞0   D．＜

D　解析：a，b是任意实数，且a＞b，如果a＝0，b＝－2，显然A项不正确；如果a＝0，b＝－2，显然B项无意义，不正确；如果a＝0，b＝－，显然lg ＜0，C项不正确；因为指数函数y＝在定义域上单调递减，且a＞b，所以＜，D项正确．故选D．

2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

A　解析：若(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而当a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，例如a＝0，b＝1.所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．

3．若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”)．

＜　解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.

4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma，________(填“>”或“<”)．

＜　＜　解析：因为b>a>0，m<0，所以b－a>0，

因为mb－ma＝m(b－a)<0，所以mb<ma.

因为－＝＝<0，所以<.

考点2　一元二次不等式的解法——综合性

考向1　不含参数的一元二次不等式的解法

(1)(2019·江苏卷)函数y＝的定义域是________．

[－1,7]　解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1,7]．

(2)解不等式：0＜x2－x－2≤4.

解：原不等式等价于⇔⇔

⇔

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．

考向2　含参数的一元二次不等式的解法

解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.

解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.

当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}；

当a＝1时，原不等式的解集为；

当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}．

1．(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．

　解析：3x2＋x－2<0变形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.

2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________．

(2,3)　解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根．所以，由根与系数的关系得解得所以不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0，易得解集为(2,3)．

3．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.

解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，

即(4x＋a)(3x－a)>0.

令(4x＋a)(3x－a)＝0，

解得x1＝－，x2＝.

①当a>0时，－<，

不等式的解集为；

②当a＝0时，x2>0，

不等式的解集为{x|x≠0}；

③当a<0时，－>，

不等式的解集为.

综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.

考点3　一元二次不等式的恒成立问题——应用性

考向1　在实数集R上的恒成立问题

若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2] B．[－2,2]

C．(－2,2] D．(－∞，－2)

C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．

当a≠2时，则

即解得－2<a<2.

综上，实数a的取值范围是(－2,2]．

考向2　在给定区间上的恒成立问题

若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3] B．(－∞，0]

C．[1，＋∞) D．(－∞，1]

A　解析：(方法一)令f (x)＝x2－2x＋a.则由题意，

得

解得a≤－3.故选A．

(方法二)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f (x)＝－x2＋2x(x∈[－1,2])．而f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f (x)min＝－3，所以a≤－3.故选A．

函数f (x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立．

则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，

解得－6≤a≤2.

所以实数a的取值范围是[－6,2]．

(2)对于任意x∈[－2,2]，f (x)≥0恒成立，

即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立．

令g(x)＝x2＋ax＋3－a，

则有①Δ≤0或②

或③

解①得－6≤a≤2，

解②得a∈，

解③得－7≤a<－6.

综上可知，实数a的取值范围为[－7,2].

若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a<b<c B．c<b<a

C．c<a<b D．b<a<c

[四字程序]

思路参考：直接利用作差法比较．

B　解析：a－b＝－＝＝＞0，

b－c＝－＝＝＞0，所以a＞b＞c.

思路参考：a，b，c均为整数，可考虑用作商法比较大小．

B　解析：易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251 024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a.

思路参考：根据三个数的结构特征可考虑构造函数，根据函数的单调性比较大小．

B　解析：对于函数y＝f (x)＝，y′＝.

易知当x＞e时，函数f (x)单调递减．

因为e＜3＜4＜5，

所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a.

思路参考：数形结合，画出函数y＝ln x的图象，通过比较斜率大小得到结果．

B　解析：如图，画出函数y＝ln x的图象，即a＝，b＝，c＝分别表示点M(3，ln 3)，N(4，ln 4)，P(5，ln 5)与原点连线的斜率．由图易知c＜b＜a.

1．比较大小问题的主要方法：一是利用不等式的性质；二是利用特殊值排除法；三是求差或求商比较大小；四是构造函数，利用函数单调性比较大小．

2．基于新课程标准，比较大小问题一般需要熟练掌握推理论证能力，抽象概括能力，体现了数学抽象、逻辑推理的核心素养．

若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a＋>b＋ B．>

C．a－>b－   D．>

A　解析：不妨取a＝2，b＝1，排除B和D．另外，函数f (x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．所以，当a>b>0时，f (a)>f (b)必定成立，但g(a)>g(b)不一定成立．因此a－>b－⇔a＋>b＋.故选A．