新教材高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入微专题进阶课5平面向量与“四心”学案含解析

第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

平面向量与“四心”

在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．应用向量相关知识，可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质．

　重心问题

已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝(＋＋)(其中P为平面上任意一点), 则点O是△ABC的(　　)

A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心

C　解析：由已知得

3＝－＋－＋－，

所以3＋3＝＋＋，

即＋＋＝0，

所以点O是△ABC的重心.

如图，△ABC的重心为G，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点．

因为

所以a＋b＋c－3＝＋＋.

而＋＋＝0，

所以a＋b＋c－3＝0，

所以＝.

　垂心问题

已知点O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．重心　　B．垂心　　C．外心　　D．内心

B　解析：由已知得＝λ，

所以·＝λ

＝λ

＝λ(－||＋||)＝0，

所以⊥，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心．

已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的(　　)

A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心

D　解析：因为2＋2＝2＋2，

所以2－2＝2－2，

所以(－)·(＋)＝(＋)·(－)，

所以·(＋)＝·(－)，

所以·(＋－＋)＝0，

所以·(＋＋)＝0，

所以·＝0，

所以⊥.

同理可得⊥，⊥.

所以O为△ABC的垂心．故选D．

　外心问题

已知点O是△ABC所在平面上的一点．若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O是△ABC的(　　)

A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心

A　解析：由已知得

(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝0

⇔2－2＝2－2＝2－2＝0

⇔||＝||＝||. 所以点O是△ABC的外心．

在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，E为△ACD的重心，点F为△ABC的外心．

求证：EF⊥CD．

证明：建立如图所示的坐标系，设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，则D，＝，易知△ABC的外心F在y轴上，设为F(0，y)．

由||＝||可得(y－b)2＝(－a)2＋y2，

所以y＝，即F.

连接AE，CE，DE，又由重心公式，

得＋＋＝0，

则E，所以＝，

所以·＝×＋×＝0，

所以⊥，即EF⊥CD．

　内心问题

已知点O是△ABC所在平面上的一点，若＝(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则点O是△ABC的(　　)

A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心

B　解析：因为＝，所以(a＋b＋c)＝a＋b＋c，即a＋bPO＋c＝a＋b＋c，移项并整理可得a(－)＋b(－)＋c(－)＝0，则a＋b＋c＝0，所以点O是△ABC的内心．

已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.

内心　解析：如图所示，＝＋，

由已知，＝＋λ.

所以＝λ，λ∈[0，＋∞)．

设λ＝，λ＝，

所以D，E在射线AB和AC上，所以＝＋，

所以AP是平行四边形ADPE的对角线．

又||＝||，所以四边形ADPE是菱形，

所以点P在∠EAD即∠CAB的平分线上．

故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．