新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析

这是一份新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析，共1页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第四节　三角恒等变换一、教材概念·结论·性质重现1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan 2α＝.二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角．3．常用公式(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.4．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－.二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (√)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (√)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．              (×)(4)当α是第一象限角时，sin＝． (×)(5)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． (√)2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)A．－　　B．　　C．－　　D．D　解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D．3．cos2－sin2＝________.　解析：根据二倍角公式有cos2－sin2＝cos ＝.4．化简：＝________.4sin α　解析：原式＝＝＝4sin α.5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.　解析：因为tan α＝，tan(α＋β)＝，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.考点1　公式的简单应用——基础性1．(2020·山东九校联考)已知点A在圆x2＋y2＝4上，且∠xOA＝π，则点A的横坐标为(　　)A．　　B．　　C．　　D．A　解析：设点A(x0，y0)，因为点A在圆上，所以x＋y＝4.因为∠xOA＝π，cos＝cos＝cos·cos－sinsin＝.又因为cos ∠xOA＝，即cos ＝，所以x0＝.故选A．2．(2020·沈阳三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”，在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　)A．4　　B．＋1　　C．2　　D．－1C　解析：由题意，2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，则＝＝＝＝2.3.－＝(　　)A．4　　B．2　　C．－2　　D．－4D　解析：－＝－＝＝＝＝－4.4．(2020·全国卷Ⅱ)若sin x＝－，则cos 2x＝________.　解析：因为sin x＝－，所以cos 2x＝1－2sin2x＝.应用三角恒等变换公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．考点2　三角函数的化简求值问题——综合性考向1　给值求值问题(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)A．　　B．　　C．　　D．A　解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得6cos2α－8cos α－8＝0，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝.故选A．(2)(2020·山东师范大学附中高三质评)若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)A．－　　B．　　C．－　　D．C　解析：因为sin θ＝cos (2π－θ)＝cos θ，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.故选C．(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________．－　解析：cos 2α＝sin＝sin＝2sincos.代入原式，得6sin·cos＝sin.因为α∈，所以cos＝，所以sin 2α＝cos ＝2cos2 －1＝－.给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．考向2　给值求角问题已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.　解析：因为0<β<α<，所以0<α－β<.又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝.因为cos α＝，0<α<，所以sin α＝.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0<β<，所以β＝.已知三角函数值求角的解题步骤(1)根据条件确定所求角的范围；(2)确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数；(3)结合三角函数值及角的范围求角．1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)A．　　B．　　C．　　D．B　解析：由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.又因为α∈，所以2sin α＝cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝.2．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)A．　　B．或－　　C．－或　　D．－D　解析：由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0.又由α，β∈，得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.3．(2020·泰安高三一轮检测)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.－　解析：因为α，β∈，所以α＋β∈，β－∈.因为sin (α＋β)＝－，sin＝，所以cos(α＋β)＝，cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.考点3　角的变换与式的变换——综合性考向1　角的变换(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)A．　　B．　　C．　　D．B　解析：因为sin θ＋sin＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ＝＝sin ＝1，所以sin ＝＝.故选B．(2)(2020·济南一模)已知cos＝，则－sin2的值为________．　解析：－sin2＝－＝－＝.(3)化简： ＝________.1　解析：＝＝＝＝1.本例(2)中条件改为“cos(75°＋α)＝”，求cos(30°－2α)的值．解：因为cos(75°＋α)＝，所以sin(15°－α)＝cos(75°＋α)＝，所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－2×＝. 应用角的变换求值策略解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．考向2　式的变换计算：－sin 10°.解：原式＝－sin 10°＝－sin 10°·＝－sin 10°·＝－2cos 10°＝＝＝＝＝.应用式的变换求值策略解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦函数化为正切函数，或者把正切函数化为正弦、余弦函数．1．(2020·石家庄模拟)若cos α(1＋tan 10°)＝1，则α的一个可能值为(　　)A．75°　　B．50°　　C．40°　　D．10°C　解析：因为cos α(1＋tan 10°)＝1，所以cos α＝＝＝＝＝cos 40°，所以α的一个可能值为40°.故选C．2．(2020·百校联盟1月联考)已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin α＝(　　)A．　　B．　　C．　　D．A　解析：因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<.又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.因为cos 2α＝1－2sin2α＝－，所以sin2α＝.因为sin α>0，所以sin α＝.故选A．考点4　三角恒等变换的综合应用——应用性已知函数f (x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值．解：(1)因为f (x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，所以函数f (x)的最小正周期T＝.令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.所以函数f (x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)因为f ＝，所以sin＝1.又α∈(0，π)，所以－＜α－＜.所以α－＝.故α＝.因此，tan＝＝＝2－.三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x)化为asin x＋bcos x的形式．(2)构造f (x)＝.(3)和角公式逆用，得f (x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．(4)利用f (x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2020·北京卷)若函数f (x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．　解析：因为f (x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝sin(x＋θ)，其中tan θ＝，所以＝2，解得sin φ＝1，故可取φ＝.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)·sin α，求函数g(x)＝f －2f 2(x)在区间上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.(2)因为f (x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝(cos xcos α＋sin xsin α)·cos α－(sin xcos α－cos xsin α)sin α＝cos x·cos2α＋cos xsin2α＝cos x，所以g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.所以－≤sin≤1.所以－2≤2sin－1≤1.故函数g(x)在区间上的值域是[－2,1].已知＝－，求sin的值．[四字程序]读想算思求sin的值1.解答本题可能会用到哪些公式？2.条件中既有“切”又有“弦”，如何处理？三角恒等变换1.转化与回归；2.数形结合＝－1.两角和的正弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系等；2.通常要切化弦sin＝(sin 2α＋cos 2α)1.弦切互化及“1”的代换；2.拆角凑角；3.构造图形思路参考：利用同角三角函数关系求值．解：由＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2.当tan α＝－时，α可能为第二象限角或第四象限角．若α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝－，cos 2α＝.若α为第四象限角，则sin α＝－，cos α＝，sin 2α＝－，cos 2α＝.把sin 2α＝－，cos 2α＝代入求值，得sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.当tan α＝2时，α可能为第一象限角或第三象限角．若α为第一象限角，则sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝，cos 2α＝－.若α为第三象限角，则sin α＝－，cos α＝－，所以sin 2α＝，cos 2α＝－.把sin 2α＝，cos 2α＝－代入求值，sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.所以sin＝.思路参考：根据万能公式sin 2α＝，cos 2α＝求值．解：由＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2.根据公式sin 2α＝，cos 2α＝，可得当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝；当tan α＝2时，sin 2α＝，cos 2α＝－，两种情况的结果都是sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.思路参考：利用同角三角函数基本关系中“1”的代换．解：由＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2.sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝(2sin αcos α＋cos2α－sin2α)＝×＝×.将tan α＝－或tan α＝2代入上式均有sin＝.思路参考：把正切转化为正弦、余弦的比值，得到α与α＋的正余弦值的关系．解：因为＝＝－，所以sin αcos＝－cos α·sin.①又＝－α，所以sin＝sin＝sincos α－cossin α＝.②由①②，得sin αcos＝－，cos αsin＝，把2α＋拆分为α＋，可得sin＝sin＝sin αcos＋cos α·sin＝.思路参考：令α＋＝β，则2α＋＝α＋β.将原问题进行转化，然后构造几何图形求解．解：令α＋＝β，则2α＋＝α＋β.原题可转化为：已知＝－，求sin(α＋β)的值．如图，构造Rt△ABC，其中BC＝1，CD＝2，AD＝1，tan α＝，tan β＝－，sin(α＋β)＝sin θ，满足题意．在△ABD中，BD＝，AB＝，AD＝1，由余弦定理得cos θ＝＝＝.所以sin(α＋β)＝sin θ＝＝＝.1．本题考查两角和的正弦、正切公式，三角恒等变换，基本解题方法是利用有关公式直接求值(如解法1)．也可根据题目条件恰当选用“1”的代换、拆角凑角、数形结合等方法．在求解过程中，注意综合运用数学思想方法分析与解决问题．2．基于课程标准，解答本题一般需要掌握运算求解能力、转化化归能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题涉及两角和的正弦、正切公式等知识，渗透着转化与化归、数形结合等思想方法，有一定的综合性，对培养创造性思维能力起到了积极的作用．若tan＝3，则＝(　　)A．3　　B．－3　　C．　　D．－A　解析：(方法一)因为tan＝＝3，所以tan θ＝－.所以＝＝＝＝3.(方法二)同方法一求得tan θ＝－.因为sin 2θ＝＝＝－，cos 2θ＝＝＝.所以＝＝3.