新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线学案含解析

第六节　双曲线

一、教材概念·结论·性质重现

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2．双曲线的标准方程和几何性质

3.常用结论

(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．

(2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．

(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)平面内到点F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线．(×)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线． (×)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(√)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(√)

2．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)

A．(－，0)，(，0)   B．(－2,0)，(2,0)

C．(0，－)，(0，)   D．(0，－2)，(0,2)

B　解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．

3．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.

4　解析：由题意可得，e2＝＝，即a2＝16.又a>0，所以a＝4.

4．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．

－＝1　解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.

5．已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．

6　解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.

考点1　双曲线的定义——基础性

(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝(　　)

A．  B．  C．  D．

D　解析：由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．设P(x，y)，则x2－＝1(x≥1)，

将y＝3代入可得x2＝，

所以y2＝3(x2－1)＝，所以|OP|＝＝.

故选D．

(2)(2020·肥东县综合高中高三三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点为F1，点Q(0，c)(c为半焦距)．P是双曲线C的右支上的动点，且|PF1|＋|PQ|的最小值为6，则双曲线C的方程为______________．

x2－＝1　解析：设双曲线右焦点为F2，则|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值为|QF2|＝＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值为2a＋2c＝6.又＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故双曲线C的方程为x2－＝1.

1．(2020·咸阳市高三三模)设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点．若∠F1PF2＝90°，c＝2，S＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±x

D　解析：由题意可得

所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，得a＝1，b＝＝，所以渐近线方程为y＝±x.

2．(2020·深圳市高三二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝，则双曲线C的方程为(　　)

A．x2－＝1   B．－y2＝1

C．－＝1   D．－＝1

A　解析：如图，因为PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－＝1.

考点2　双曲线的方程——综合性

(1)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)

A．(－1,3)  B．(－1，)  C．(0,3)  D．(0，)

A　解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.

又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1<n<3.

(2)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)

A．－＝1   B．x2－＝1

C．－y2＝1   D．x2－y2＝1

D　解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和－1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以＝－1，即b＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.故选D．

1．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点坐标为(　　)

A．(±5,0)  B．(±，0)  C．(0，±5)  D．(0，±)

C　解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．

2．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．

－＝1　解析：设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k.将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为－＝1.

3．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．

x2－＝1(x≤－1)　解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B．

根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，

即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．

考点3　双曲线的几何性质——综合性

考向1　双曲线的渐近线

双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x  C．y＝±x  D．y＝±x

A　解析：(方法一)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

(方法二)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

考向2　求双曲线的离心率

(1)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．

　解析：因为双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以a＝2，则离心率e＝＝＝.

(2)(2020·浏阳一模)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)

A．  B．  C．(1,2)  D．(2，＋∞)

A　解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得<a，即c>2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<a2，所以e＝<.又知e>1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.

考向3　与双曲线有关的最值和范围问题

已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

A　解析：因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，

所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，

即3y－1<0，解得－<y0<.

1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则双曲线C的离心率为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是by－ax＝0.又圆心坐标为(2,1)，则＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝.又e>1，故e＝.

2．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，求它的焦点到渐近线的距离的取值范围．

解：对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝∈(0,2)．

已知A，F，P分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为(　　)

A．  B．  C．2  D．1＋

[四字程序]

思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．

C　解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，

不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.

在双曲线－＝1中，令x＝c，易得P.

因为tan∠PAF＝1，所以＝a＋c，

所以c2－ac－2a2＝0，

所以(c＋a)(c－2a)＝0，

解得c＝2a，即e＝2.

思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．

C　解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝＝.

设点P(x0，y0)，故－＝1.①

因为k2＝，k1＝，

所以＝.②

联立①②消去y0得：

x＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)

当且仅当时，(*)式恒成立，

此时e＝＝2.

思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解．

C　解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，

△ACD∽△BAD，故＝，

所以c2－b2＝ab，反之亦然．

图1

图2

在双曲线中，设点P(x0，y0)，

过点P作PM⊥AF，如图2.

因为∠PFA＝2∠PAF，

同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，

又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，

所以|PF|＝2x0＋a－c.

由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，

所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝＝2.

思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．

C　解析：如图，作PM⊥AF于M，

设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．

在Rt△PAM中，tan α＝，

在Rt△PFM中，tan 2α＝.

因为tan 2α＝，

所以＝，

所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，

所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－b2，

所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝m2＋2am＋c2恒成立．

所以所以e＝＝2.

1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．

2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式，体现了数学运算的核心素养．

3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．

已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)

A.  B．2  C.  D．2

D　解析：(方法一)由离心率e＝＝，得c＝a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2.

(方法二)离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2.