人教b版高考数学一轮复习第1章预备知识第4节相等关系与不等关系学案含解析

第4节　相等关系与不等关系

一、教材概念·结论·性质重现

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

①a－b>0⇔a>b；

②a－b＝0⇔a＝b；

③a－b<0⇔a<b.

(2)作商法

①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)；

②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)；

③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0)．

2．等式的性质

(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立；

(2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．

3．不等式的性质及推论

(1)性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c；

(2)性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc；

(3)性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc；

(4)性质4：如果a>b，b>c，那么a>c；

(5)性质5：a>b⇔b<a；

(6)推论1：如果a＋b>c，那么a>c－b；

(7)推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；

(8)推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；

(9)推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)；

(10)推论5：如果a>b>0，那么>.

1．倒数性质的几个必备结论

(1)a＞b，ab＞0⇒＜；

(2)a＜0＜b⇒＜；

(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞；

(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.

2．两个重要不等式

若a＞b＞0，m＞0，则：

(1)＜，＞(b－m＞0)；

(2)＞，＜(b－m＞0)．

4．均值不等式：≥

(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中，称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值．

5．两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)2≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

6．利用均值不等式求最值

已知x≥0，y≥0，

(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)．

(1)＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)2≤(a，b∈R)．

(3)≤≤≤.

(4)连续使用均值不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．( × )

(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × )

(3)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( × )

(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.( × )

2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)

A．M＞N B．M≥N

C．M＜N D．M≤N

A　解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.

3．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<的有(　　)

A．1个 B．2个 

C．3个 D．4个

C　解析：<成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．

4．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

B　解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．

5．若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

25　解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，

则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤2＝25 (m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.

考点1　比较大小与不等式的性质——基础性

1．(多选题)(2020·泰安市高三上期末)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0

C．若a>b，c>d，则a－d>b－c

D．若a>b，c>d>0，则>

BC　解析：若a>0>b,0>c>d，则ac<bd，故A错误；

若ab>0，bc－ad>0，则>0，化简得－>0，故B正确；

若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；

若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误．

故选BC.

2．设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

A　解析：若(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而当a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，例如a＝0，b＝1.所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．

3．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma，________(填“>”或“<”)．

＜　＜　解析：因为b>a>0，m<0，所以b－a>0.

因为mb－ma＝m(b－a)<0，所以mb<ma.

因为－＝＝<0，所以<.

4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．

[5,10]　解析：(方法一：待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.

于是得解得

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

故5≤f(－2)≤10.

(方法二：运用方程思想)由

得

∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

故5≤f(－1)≤10.

比较大小的方法

(1)作差法，步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．

(2)作商法，步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．

(3)构造函数法：构造函数，利用函数的单调性比较大小．

(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．

考点2　利用均值不等式求最值——综合性

考向1　配凑法求最值

(1)函数y＝(x>1)的最小值为________．

2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0.

y＝＝

＝

＝(x－1)＋＋2≥2＋2.

当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．

所以函数y＝(x＞1)的最小值为2＋2.

(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.

3　解析：因为x>2，所以x－2>0，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3. 又因为x>2，所以x＝3，即a＝3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．

拼凑法求最值的实质及关键点

拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

考向2　常值代换求最值

已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

4　解析：因为a＋b＝1，

所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．

1．将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．

1＋　解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.

所以＋＝

＝＋＋＋≥1＋2

＝1＋.

当且仅当a＝b时，取等号．

2．本例条件不变，则的最小值为________．

9　解析：

＝

＝

＝5＋2≥5＋4＝9.

当且仅当a＝b＝时，取等号．

考向3　消元法求最值

若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，

所以y＝.

由即解得0<x<1.

所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，

当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

故x＋2y的最小值为.

消元法求最值的策略

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值．

考向4　两次应用均值不等式求最值

设实数x，y满足2x＋y＝1.若x>0，y>0，求证：＋－≥.

证明：因为x>0，y>0,2x＋y＝1，

所以＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋4＝8，

当且仅当＝，即2x＝y＝时取等号．

又－≥－＝－，当且仅当2x＝y＝时取等号，

所以＋－≥，当且仅当2x＝y＝时取等号．

两次利用均值不等式求最值的注意点

当多次使用均值不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．

1．设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．

　解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为.

2．已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．

7＋4　解析：因为＋＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)·＝7＋＋≥7＋4，当且仅当y＝x，即x＝1＋，y＝2＋时取等号．

所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.

3．(2020· 天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．

4　解析：因为a>0，b>0，且ab＝1，

所以＋＋＝＋＋

＝＋≥2＝4，

当且仅当＝且ab＝1，即

或时，等号成立．

故＋＋的最小值为4.

考点3　利用均值不等式解决实际问题——应用性

某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t＝5－(其中0≤x≤k，k为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

解：(1)由题意知，该产品售价为2×元/件，所以y＝2××t－10－2t－x，

代入t＝5－化简，

得y＝20－(0≤x≤k)．

(2)y＝20－＝21－

≤21－2＝17，

当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．

当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当0<k<1时，y′＝>0，

故y＝21－在0≤x≤k上单调递增．

所以，在x＝k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大．

综上，当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当0<k<1时，促销费用投入k万元时，厂家的利润最大．

均值不等式的实际应用问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用均值不等式求得函数的最值．

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．

(3)在应用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室．在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物．相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．

(2)因为8<x<450，

所以2x＋≥2＝240，

当且仅当x＝60时，等号成立，从而S≤676.

故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.

已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．

[四字程序]

思路参考：消b，转化为含a的式子求最值．

由于a2＋中有两个变量，并注意到b＋(a－b)＝a，则b(a－b)≤＝. 这样就消去变量b，因此a2＋≥a2＋≥4. 当且仅当b＝a－b，a2＝时等号成立，即a＝，b＝时等号成立. 故a2＋的最小值是4.

思路参考：用b和a－b表达a后求最值．

注意到b＋(a－b)＝a，则[b＋(a－b)]2＝a2，则a2＋＝[b＋(a－b)]2＋≥4b(a－b)＋≥4.

当且仅当4b2(a－b)2＝1，即a＝，b＝时等号成立. 故a2＋的最小值是4.

思路参考：利用三角换元求最值．

由b＋(a－b)＝a，联想到三角换元，令a－b＝acos2α， b＝asin2α，

于是a2＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋≥4，当且仅当a2＝，sin22α＝1，即a＝，b＝时等号成立. 故a2＋的最小值是4.

1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法. 其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．

2．基于新课程标准，求最值问题一般要熟练掌握对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．

已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．

16　解析：(方法一：1的代换)因为＋＝1，

所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.

因为x＞0，y＞0，

所以＋≥2＝6.

当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．

又＋＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.

所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.

(方法二：消元法)由＋＝1，得x＝.

因为x＞0，y＞0，所以y＞9.

x＋y＝＋y＝y＋

＝y＋＋1

＝(y－9)＋＋10.

因为y＞9，所以y－9＞0，

所以y－9＋≥2＝6.

当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.

(方法三：配凑法)由＋＝1，得y＋9x＝xy，

所以(x－1)(y－9)＝9.

所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)

≥10＋2＝16.

当且仅当x－1＝y－9时取等号．

又因为＋＝1，所以x＝4，y＝12.

所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.