人教b版高考数学一轮复习第2章函数的概念与性质第5节指数与指数函案含解析

第5节　指数与指数函数

一、教材概念·结论·性质重现

1．n次方根

(1)根式的概念

一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．

(2)a的n次方根的性质

①()n＝a；

②当n为奇数时，＝a；

当n为偶数时，＝|a|＝

2．有理数指数幂

3．指数函数的概念

一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

4．指数函数的图像与性质

5．比较幂的大小的方法

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)＝()n＝a.( × )

(2)(－1)＝(－1)＝.( × )

(3)函数y＝a－x是R上的增函数．( × )

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × )

(5)函数y＝2x－1是指数函数．( × )

(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )

2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)

A．－9　　　　　　　　 B．7

C．－10   D．9

B　解析：原式＝26×－1＝23－1＝7.故选B.

3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)＝________.

　解析：由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝

－1＝.

4．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

－　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，

则即无解．

当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，

则即解得所以a＋b＝－.

5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

c＜b＜a　解析：因为y＝x是减函数，所以＞＞0，即a＞b＞1.

又c＝＜0＝1，所以c＜b＜a.

考点1　指数幂的化简与求值——基础性

1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)

A．(－2)－2＝4   B．2a－3＝

C．(－2)0＝－1   D．(a－)4＝

D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．

2．化简：·(a＞0，b＞0)＝________.

　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.

3．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝________.

－　解析：原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.

指数幂运算的一般原则

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．

考点2　指数函数的图像及应用——综合性

(1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是(　　)

B　解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图像的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0. 又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减．故选B.

(2)若函数y＝|2x－1|的图像与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．

(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图像与直线y＝b如图所示．由图像可得b的取值范围是(0,1)．

指数函数图像的应用问题的求解方法

(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．

(2)根据指数函数图像判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图像的交点进行判断．

1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

(－∞，0]　解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．

2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图像，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.

3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围为________．

　解析：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax的图像先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图像只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图像有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.

综上可知，a的取值范围是.

考点3　指数函数的性质及应用——应用性

考向1　比较大小

已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)

A．b<a<c　　　　　　B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

A　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c. 故选A.

考向2　解指数方程或不等式

(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．

　解析：当a<1时，41－a＝2，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.

(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．

(－3,1)　解析：当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，

即a<8，所以a<－3，所以a>－3.

又a<0，所以－3<a<0.

当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.

所以0≤a<1.

综上，a的取值范围为(－3,1)．

考向3　指数型函数的单调性

已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．

(－∞，4]　解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

考向4　指数型函数的最值

若函数f(x)＝ax2－4x＋3有最大值3，则a＝________.

1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略

1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A．f(b)＜f(a)＜f(c) 

B．f(c)＜f(b)＜f(a)

C．f(c)＜f(a)＜f(b) 

D．f(b)＜f(c)＜f(a)

B　解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数．又a＝＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，则a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．

2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)＞0 

B．ln(y－x＋1)＜0

C．ln|x－y|＞0 

D．ln|x－y|＜0

A　解析：(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y.

令f(x)＝2x－3－x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)＜f(y)，

所以x＜y，即y－x＞0.

由于y－x＋1＞1，

故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.故选A.

(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，

此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD.故选A.

3．函数y＝x2＋2x－1的值域是(　　)

A．(－∞，4)   B．(0，＋∞)

C．(0,4]   D．[4，＋∞)

C　解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝t.因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝t≤－2＝4.故所求函数的值域为(0,4]．

4．函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．

[0，＋∞)　解析：设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调递增区间为[1，＋∞)．令2x≥1，得x≥0.又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是[0，＋∞)．

(2020·临沂月考)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>c>b   B．a>b>c

C．c>a>b   D．b>c>a

[四字程序]

思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．

A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝x. 因为0<<1，所以函数y＝x为减函数．又因为>，所以b＝<＝c. 再比较a与c，因为＝＝>0＝1，所以a>c，所以a>c>b.故选A.

思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．

A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝2＝，b5＝3＝，c5＝

2＝，

所以a5> c5> b5，即a>c>b.故选A.

思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．

A　解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b.故选A.

1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法一是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法二与解法三比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法三，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．

2．基于新课程标准，对于比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识. 比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．

(多选题)已知a，b满足等式a＝b，下列四个关系式中可能成立的是(　　)

A．0＜b＜a   B．a＜b＜0

C．0＜a＜b   D．b＜a＜0

AB　解析：函数y1＝x与y2＝x的图像如图所示．

由a＝b得a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故AB可能成立，CD不可能成立．