人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第3节三角恒等变换学案含解析

第3节　三角恒等变换

一、教材概念·结论·性质重现

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.

(3)tan(α±β)＝.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号相反；S(α±β)异名相乘，符号相同；T(α±β)分子同，分母反．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)tan 2α＝.

二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角．

3．常用公式

(1)降幂扩角公式

①cos2＝；②sin2＝.

(2)升幂公式

①1＋cos α＝2cos2；②1－cos α＝2sin2.

(3)公式变形

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．

(4)辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，

其中sin φ＝，cos φ＝.

4．常见的配角技巧

2α＝(α＋β)＋(α－β)，

α＝(α＋β)－β，

β＝－，

α＝＋，

＝－.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )

(4)当α是第一象限角时，sin＝.( × )

(5)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( √ )

2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)

A．1   B． 

C． D．－

B　解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.

3．cos2－sin2＝________.

　解析：根据二倍角公式有cos2－sin2＝cos ＝.

4．化简：＝________.

4sin α　解析：原式＝＝＝4sin α.

5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.

　解析：因为tan α＝，tan(α＋β)＝，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.

考点1　公式的简单应用——基础性

1．(2020·山东九校联考)已知点A在圆x2＋y2＝4上，且∠xOA＝π，则点A的横坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

A　解析：设点A(x0，y0)，因为点A在圆上，所以x＋y＝4.因为∠xOA＝π，cos＝cos＝cos·cos－sinsin＝.

又因为cos ∠xOA＝，即cos ＝，所以x0＝.故选A.

2．(2020·沈阳三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”，在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　)

A．4   B．＋1

C．2   D．－1

C　解析：由题意，2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，

则

＝

＝

＝＝2.

3.－＝(　　)

A．4 B．2 

C．－2 D．－4

D　解析：－＝－＝＝＝＝－4.

4．(2020·全国卷Ⅱ)若sin x＝－，则cos 2x＝________.

　解析：因为sin x＝－，所以cos 2x＝1－2sin2x＝.

应用三角恒等变换公式化简求值的策略

(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

考点2　三角函数的化简求值问题——综合性

考向1　给值求值问题

(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝

(　　)

A.   B. 

C.   D.

A　解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得6cos2α－8cos α－8＝0，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝.故选A.

(2)(2020·山东师范大学附中高三质评)若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝

(　　)

A．－   B． 

C．－   D．

C　解析：因为sin θ＝cos (2π－θ)＝cos θ，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.故选C.

(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________．

－　解析：cos 2α＝sin

＝sin

＝2sincos.

代入原式，得6sincos＝sin.

因为α∈，所以cos＝，所以sin 2α＝cos ＝2cos2 －1＝－.

给值求值问题的求解思路

(1)化简所求式子．

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．

考向2　给值求角问题

已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.

　解析：因为0<β<α<，

所以0<α－β<.

又因为cos(α－β)＝，

所以sin(α－β)＝＝.

因为cos α＝，0<α<，

所以sin α＝.

所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.

因为0<β<，所以β＝.

已知三角函数值求角的解题步骤

(1)根据条件确定所求角的范围．

(2)确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数．

(3)结合三角函数值及角的范围求角．

1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

B　解析：由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.又因为α∈，所以2sin α＝cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝.

2．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)

A．   B．或－

C．－或 D．－

D　解析：由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0.又由α，β∈，得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.

3．(2020·泰安高三一轮检测)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.

－　解析：因为α，β∈，所以α＋β∈，β－∈.因为sin (α＋β)＝－，sin＝，所以cos(α＋β)＝，cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.

考点3　角的变换与式的变换——综合性

考向1　角的变换

(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

B　解析：因为sin θ＋sin

＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin

＝sin θ＋sin θ＋cos θ

＝sin θ＋cos θ

＝

＝sin ＝1，

所以sin ＝＝.故选B.

(2)(2020·济南一模)已知cos＝，则－sin2的值为________．

　解析：－sin2＝－＝－＝.

(3)化简： ＝________.

1　解析：

＝

＝＝＝1.

本例(2)中条件改为“cos(75°＋α)＝”，求cos(30°－2α)的值．

解：因为cos(75°＋α)＝，

所以sin(15°－α)＝cos(75°＋α)＝，

所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－2×2＝.

应用角的变换求值策略

解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．

考向2　式的变换

计算：－sin 10°.

解：原式＝－sin 10°

＝－sin 10°·

＝－sin 10°·

＝－2cos 10°

＝

＝

＝

＝＝.

应用式的变换求值策略

解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦函数化为正切函数，或者把正切函数化为正弦、余弦函数．

1．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)

A．3α－β＝ B．2α－β＝

C．3α＋β＝ D．2α＋β＝

B　解析：由tan α＝，得＝，

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

所以sin(α－β)＝cos α＝sin.

因为α∈，β∈，

所以α－β∈，－α∈，

由sin (α－β)＝sin，得α－β＝－α，

所以2α－β＝.

2．(2020·百校联盟1月联考)已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin α＝(　　)

A.   B.

C.   D.

A　解析：因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<.

又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，

所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，

则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)

＝×－×＝－.

因为cos 2α＝1－2sin2α＝－，所以sin2α＝.

因为sin α>0，所以sin α＝.故选A.

考点4　三角恒等变换的综合应用——应用性

已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值．

解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x

＝(sin 4x＋cos 4x)

＝sin，

所以函数f(x)的最小正周期T＝.

令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得＋≤x≤＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

(2)因为f＝，

所以sin＝1.

又α∈(0，π)，所以－＜α－＜.

所以α－＝.故α＝.

因此，tan＝＝＝2－.

三角恒等变换综合应用的解题思路

(1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．

(2)构造f(x)＝.

(3)和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．

(4)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．

(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

1．(2020·北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．

　解析：因为f(x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)·cos x＝sin(x＋θ)，

其中tan θ＝，所以＝2，解得sin φ＝1，故可取φ＝.

2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．

(1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)·sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．

解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，

所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.

(2)因为f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝(cos xcos α＋sin xsin α)·cos α－(sin xcos α－cos xsin α)sin α＝cos xcos2α＋cos xsin2α＝cos x，

所以g(x)＝cos－2cos2x

＝sin 2x－1－cos 2x

＝2sin－1.

因为0≤x≤，

所以－≤2x－≤.

所以－≤sin≤1.

所以－2≤2sin－1≤1.

故函数g(x)在区间上的值域是[－2,1]．

已知＝－，求sin的值．

[四字程序]

思路参考：利用同角三角函数关系求值．

解：由＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2.

当tan α＝－时，α可能为第二象限角或第四象限角．

若α为第二象限角，

sin α＝，cos α＝－，

所以sin 2α＝－，cos 2α＝.

若α为第四象限角，则

sin α＝－，cos α＝，

sin 2α＝－，cos 2α＝.

把sin 2α＝－，cos 2α＝代入求值，

得sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.

当tan α＝2时，α可能为第一象限角或第三象限角．

若α为第一象限角，则

sin α＝，cos α＝，

所以sin 2α＝，cos 2α＝－.

若α为第三象限角，则

sin α＝－，cos α＝－，

所以sin 2α＝，cos 2α＝－.

把sin 2α＝，cos 2α＝－代入求值，

sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.

所以sin＝.

思路参考：根据万能公式sin 2α＝，cos 2α＝求值．

解：由＝＝－，

解得tan α＝－或tan α＝2.

根据公式sin 2α＝，cos 2α＝，

可得当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝；

当tan α＝2时，sin 2α＝，cos 2α＝－，两种情况的结果都是sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝.

思路参考：利用同角三角函数基本关系中“1”的代换．

解：由＝＝－，

解得tan α＝－或tan α＝2.

sin＝(sin 2α＋cos 2α)

＝(2sin αcos α＋cos2α－sin2α)

＝×

＝×.

将tan α＝－或tan α＝2代入上式均有sin＝.

思路参考：把正切转化为正弦、余弦的比值，得到α与α＋的正余弦值的关系．

解：因为＝＝－，

所以sin αcos＝－cos α·sin.①

又＝－α，

所以sin＝sin

＝sincos α－cossin α

＝.②

由①②，得sin αcos＝－，

cos αsin＝，

把2α＋拆分为α＋，可得

sin＝sin

＝sin αcos＋cos αsin＝.

思路参考：令α＋＝β，则2α＋＝α＋β.

将原问题进行转化，然后构造几何图形求解．

解：令α＋＝β，则2α＋＝α＋β.

原题可转化为：

已知＝－，求sin(α＋β)的值．

如图，构造Rt△ABC，其中BC＝1，CD＝2，AD＝1，tan α＝，tan β＝－，sin(α＋β)＝sin θ，满足题意．

在△ABD中，BD＝，AB＝，AD＝1，

由余弦定理得

cos θ＝

＝＝.

所以sin(α＋β)＝sin θ＝＝＝.

1．本题考查两角和的正弦、正切公式，三角恒等变换，基本解题方法是利用有关公式直接求值(如解法1)．也可根据题目条件恰当选用“1”的代换、拆角凑角、数形结合等方法．在求解过程中，注意综合运用数学思想方法分析与解决问题．

2．基于课程标准，解答本题一般需要掌握运算求解能力、转化化归能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．

3．基于高考数学评价体系，本题涉及两角和的正弦、正切公式等知识，渗透着转化与化归、数形结合等思想方法，有一定的综合性，对培养创造性思维能力起到了积极的作用．

若tan＝3，则＝(　　)

A．3 B．－3 

C. D．－

A　解析：(方法一)因为tan＝＝3，所以tan θ＝－.所以＝＝＝＝3.

(方法二)同方法一求得tan θ＝－.

因为sin 2θ＝＝＝－，

cos 2θ＝＝＝.

所以＝＝3.