人教b版高考数学一轮复习第7章立体几何第5节空间向量及其运算学案含解析

第5节　空间向量及其运算

一、教材概念·结论·性质重现

1．空间向量的有关概念

(1)零向量：始点和终点相同的向量，记作0.

(2)单位向量：模等于1的向量．

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量．

(4)相反向量：方向相反、大小相等的向量称为相反向量．

(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行．

(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．

空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．

2．空间向量中的有关定理

(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．

(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题．

3．空间向量的数量积

(1)两向量的夹角

①给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

②范围：0≤〈a，b〉≤π.

(2)两个非零向量a，b的数量积：

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起点；②向量的方向．

(2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．

4．空间向量的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．

5．常用结论

(1)证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

①＝λ(λ∈R)；

②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；

③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．

(2)证明空间四点共面的方法

对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：

①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝＋x＋y；

③∥(或∥或∥)．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．( √ )

(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )

(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.( × )

(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )

(5)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( × )

2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　)

A．3 B．4 

C．5 D．6

C　解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝5.

3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c   B.a＋b＋c

C．－a－b＋c   D.a－b＋c

A　解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.

4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)．若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)

A．－2 B．－ 

C． D．2

D　解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得 λ＝2.

5．下列说法：

①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

③若a，b共线，则a与b所在直线平行；

④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．

其中不正确的为________．(填序号)

②③④　解析：①中四点恰好围成一个封闭图形，正确；

②中当a，b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；

③中a，b所在直线可能重合；

④中需满足x＋y＋z＝1，才有P，A，B，C四点共面．

考点1　空间向量的线性运算——基础性

1．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)

A.a－b＋c B.－a＋b＋c

C.a＋b－c   D.a＋b－c

B　解析：＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.

2．在空间四边形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)

A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)

C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)

B　解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，

所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．

所以＝(＋)－(＋)＝(＋)

＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]

＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．

3.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

　解析：连接ON，设＝a，＝b，＝c，

则＝－＝(＋)－＝b＋c－a，

＝＋＝＋

＝a＋

＝a＋b＋c.

又＝x＋y＋z，

所以x＝，y＝，z＝，

因此x＋y＋z＝＋＋＝.

用已知向量表示未知向量的方法

(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

考点2　共线向量定理、共面向量定理及其应用——综合性

(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若向量a，b，c共面，则实数λ等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

D　解析：因为向量a，b，c共面，所以，由共面的向量基本定理，存在唯一实数x，y，使得xa＋yb＝c，所以

解方程组得λ＝.

(2)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.

①求证：A，E，C1，F四点共面；

②已知＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．

①证明：＝＋＋

＝＋＋＋

＝＋

＝(＋)＋(＋)＝＋.

又，，有公共点A，所以A，E，C1，F四点共面．

②解：因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋.所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.

证明点共线、点共面的方法

(1)证明点共线的方法

证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，即证明＝λ(λ≠0)．

(2)证明点共面的方法

证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．

1．已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)

A． B．－2

C．0   D．或－2

B　解析：当m＝0时，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)，a与b不平行，所以m≠0.

当m≠0时，因为a∥b，所以＝＝，解得m＝－2.

2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D.

证明：设＝a，＝c，＝b，

则＝＋＝＋＝a＋c，

＝＋＝＋＝－a＋b，

＝＋＝－＋＝b－a＋c，

所以＝－2.

因为A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.

考点3　空间向量的数量积及其应用——应用性

考向1　空间向量数量积的运算

(1)在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．不确定

B　解析：如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.

(2)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________．

　解析：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(λ，λ，2λ)，

则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，

＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.

当λ＝时，·取得最小值－.

此时＝.

空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．

考向2　空间向量数量积的应用

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长；

(2)求证：AC1⊥BD；

(3)求BD1与AC夹角的余弦值．

解：记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

所以a·b＝b·c＝c·a＝.

|1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，

所以|AC1|＝，即AC1的长为.

(2)证明：因为1＝a＋b＋c，＝b－a，

所以1·＝(a＋b＋c)·(b－a)

＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c

＝b·c－a·c

＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°

＝0.

所以1⊥，所以AC1⊥BD.

(3)解：因为1＝b＋c－a，＝a＋b，

所以|1|＝，||＝，

1·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b·a＋b2＋c·a＋c·b－a2－a·b＝1.

所以cos〈1，〉＝＝.

所以AC与BD1夹角的余弦值为.

空间向量数量积的应用

如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．建立空间直角坐标系解决下列问题：

(1)求·；

(2)求cos〈，C1G〉；

(3)求FH的长．

解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，

则有E，F，C(0，1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.

(1)＝－＝，

＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，

所以·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.

(2)因为＝－(0,1,1)＝，

所以||＝.

又因为·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，

所以cos〈，〉＝＝.

(3)因为F，H，

所以＝，

所以||＝

＝，

故FH的长为.