人教b版高考数学一轮复习第7章立体几何第2节空间点直线平面之间的位置关系学案含解析

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

一、教材概念·结论·性质重现

1．平面的基本性质

基本事实1：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内；基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．

②范围：.

互为异面直线的两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．

3．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

(1)空间中直线与平面的位置关系

(2)空间中平面与平面的位置关系

4．等角定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

研究直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )

(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面．( × )

(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )

(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )

(5)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．( × )

(6)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等．( × )

2．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

C　解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c可能相交，平行或异面．若a，b相交，b，c可能相交，则a，c相交、平行或异面．若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确，故选C.

3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

B　解析：由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)

A．30° B．45° 

C．60° D．90°

C　解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以△B1D1C为等边三角形，所以∠D1B1C＝60°，即异面直线B1C与EF所成角的大小为60°.

5．在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．

(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　

解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，所以AC＝BD.

(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH.

因为EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.

考点1　平面的基本性质——基础性

1．在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　)

A．一定在直线BD上

B．一定在直线AC上

C．在直线AC或BD上

D．不在直线AC上，也不在直线BD上

B　解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.

2．(多选题)(2020·全国卷Ⅱ改编)下列选项正确的是(　　)

A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

B．过空间中任意三点有且仅有一个平面

C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l

AD　解析：对于选项A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点B在平面α内，同理，l3与l2的交点A也在平面α内，所以，AB⊂α，即l3⊂α，选项A正确．对于选项B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，选项B错误．对于选项C，空间中两条直线相交、平行或异面，选项C错误．对于选项D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线．因为直线l⊂平面α，所以直线m⊥直线l，选项D正确．

共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合．

(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上．

(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

考点2　异面直线所成的角——综合性

(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　解析：如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成角为∠EAB(或其补角)．

在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，

则tan∠EAB＝＝.

所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.

(2)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

B　解析：如图，设BC的中点为D，连接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．

设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，

则AD＝，A1D＝，A1B＝.

由余弦定理，

得cos∠A1AB＝＝＝.

本例(2)的条件改为“在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1”，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．

　解析：把三棱柱ABC－A1B1C1补成四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示．

连接C1D，BD，则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角)．

由题意可知BC1＝，

BD＝＝，C1D＝AB1＝.可知BC＋BD2＝C1D2，所以△BC1D为直角三角形，

所以cos∠BC1D＝＝.

用平移法求异面直线所成的角的步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．

(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

1．(2021·聊城一模)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

D　解析：如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，

连接AF，易知F为的中点．设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.

连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD.在△EAD中，cos∠EAD＝＝.故选D.

2．(多选题)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1＝3，则(　　)

A．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为

B．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为

C．A1B∥平面B1D1C

D．点B1到平面A1BD1的距离为

ACD　解析：因为A1B∥D1C，所以∠B1D1C或其补角即为异面直线A1B与B1D1所成角．

又因为B1D1＝4，D1C＝5，B1C＝5，

所以cos∠B1D1C＝＝，故A正确，B错误．

因为A1B∥D1C，A1B⊄平面B1D1C，D1C⊂平面B1D1C，

所以A1B∥平面B1D1C，故C正确．

设点B1到平面A1BD1的距离为h，

因为VB－A1B1D1＝VB1－A1BD1，即×A1B1·A1D1·B1B＝×A1B·A1D1·h，解得h＝，故D正确．故选ACD.

3．在正四面体A­BCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

B　解析：画出正四面体A­BCD的直观图，如图所示．

设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．因为△ABC为等边三角形，所以CE⊥AB，易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF.因为OE＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝EF＝BD＝，所以cos∠FEC＝＝＝.

考点3　空间两条直线的位置关系——应用性

考向1　异面直线的判定

如图，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)

②④　解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．

本例的条件改为“下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点”，则直线PQ与RS是异面直线的图是(　　)

C　解析：易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．

考向2　平行或相交直线的判定

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)

A．相交但不垂直 

B．相交且垂直

C．异面 

D．平行

D　解析：如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点．

连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.

空间中两直线位置关系的判定方法

异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线．

1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

D　解析：(方法一：反证法)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交．

(方法二：模型法)如图(1)l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交．故A，B不正确．如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D.

2．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

B　解析：过点E作EQ⊥CD于点Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．

因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EQ⊥平面ABCD，所以EQ⊥QN.同理，BC⊥CE.

设CD＝2，则EN＝＝＝2，

BE＝＝＝2.

又在正方形ABCD中，BD＝＝2＝BE，所以△EBD是等腰三角形．又M为DE的中点，所以EM＝1，所以BM＝＝＝，所以BM＝>2＝EN，即BM≠EN.

又因为点M，N，B，E均在平面BED内，所以BM，EN在平面BED内．又BM与EN不平行，所以BM，EN是相交直线．故选B.