人教b版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节第2课时范围最值问题学案含解析

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第2课时　范围、最值问题考点1　范围问题——综合性(2021·威海模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)由题意，得c＝1，所以a2＝b2＋1.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，所以a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0.因为Δ＝48(4k2－1)＞0，所以k2＞.由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0.所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，所以(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，即＞0，所以k2＜.综上可知＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.所以直线l的斜率k的取值范围为∪.圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．解：(1)由题意知e＝＝，2b＝2.又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1.①x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2.所以(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0.所以(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝.②由①②得0≤m2<，<k2≤.因为原点O到直线l的距离d＝，所以d2＝＝＝－1＋.又<k2≤，所以0≤d2<，所以原点O到直线l的距离的取值范围是.考点2　最值问题——综合性考向1　利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．　解析：直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为.又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤，即实数c的最大值为.考向2　利用函数、导数法求最值如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M.联立方程消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①则x1＋x2＝，y1＋y2＝.(1)将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－.②由①②得m＜－或m＞.故实数m的取值范围为∪.(2)令t＝∈∪，则t2∈.则|AB|＝·，点O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，则S(t)＝|AB|·d＝≤.当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.考向3　利用均值不等式求最值(2020·汉中市模拟)圆O的方程为：x2＋y2＝9，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且＝.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)过点F(－，0)的直线与曲线C交于A，B两点，点M的坐标为(3,0)，△MAB的面积为S，求S的最大值，及直线AB的方程．解：(1)设P(x1，y1)，Q(x，y)，则D(x1，0)，＝(0，y1)，＝(0，y)．因为＝，所以把P(x1，y1)代入圆的方程得x2＋y2＝9，所以Q的轨迹C的方程为＋＝1.(2)由题意易知直线的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝ty－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立⇒消去x得(4t2＋9)y2－8ty－16＝0.由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝，S△MAB＝×(3＋)×|y1－y2|＝×＝＝12(3＋)·≤12(3＋)×＝＝.当且仅当t＝±时取等号，所以△MAB的面积有最大值为.当△MAB的面积为最大时，直线AB的方程为 y＝2x＋2或y＝－2x－2.最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、均值不等式法、导数法等)  (2020·泸州市高三三模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线y＝kx＋m(k>0)交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．解：(1)由题意可知e＝＝＝，且＝1，解得a＝2，b＝1，c＝.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)把y＝kx＋m(k>0)代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.又M，N(0，m)，|CM|＝|DN|，所以xM－x1＝x2－xN，即xM＋xN＝x1＋x2.所以x1＋x2＝－＝－.因为y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以m≠0.又k>0，则k＝，故x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.因为直线y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以－≤－2m≤，即－≤m≤，且m≠0，所以|CD|＝|x1－x2|＝＝＝.因为－≤m≤，且m≠0，所以，当m＝或m＝－时，|CD|的最小值为.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q.(1)若＝3，求直线AM的斜率；(2)设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．[四字程序]读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交1.向量＝3如何转化？2．如何表示三角形的面积？把用直线AM的斜率k来表示转化与化归求直线AM的斜率，求△AMN与△APQ的面积之比1.用A，P，M的坐标表示；2．利用公式S＝absin C表示并转化＝进而用均值不等式求其最大值把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式 思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，利用yp＝3yM求解．解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，将y＝k(x－2)与椭圆方程＋y2＝1联立，得k2(x－2)2＝(2＋x)(2－x)．求得点M的横坐标为xM＝，纵坐标为yM＝.将y＝k(x－2)与圆方程x2＋y2＝4联立，得k2(x－2)2＝(2＋x)(2－x)．求得点P的横坐标为xP＝，纵坐标为yP＝.由＝3得yP＝3yM，即＝.又k<0，解得k＝－.(2)由M，N关于原点对称，得点N的坐标为xN＝，yN＝，所以直线AN的斜率为kAN＝＝－.于是＝＝，同理＝＝.所以＝＝·＝＝＝≤＝，当且仅当16k2＝，即k＝－时等号成立，所以的最大值为.思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，由＝3转化为xp－xA＝3(xM－xA)求解．解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16k2x＋4(4k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxM＝，而xA＝2，所以xM＝.将y＝k(x－2)代入圆的方程，整理得(k2＋1)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxP＝，而xA＝2，所以xP＝.由＝3，得xP－xA＝3(xM－xA)，即－2＝3，解得k2＝2.又k<0，所以k＝－.(2)因为MN是椭圆的直径，直线AM，AN斜率均存在，所以kAMkAN＝－，即kkAN＝－，所以kAN＝－.下同解法1(略)．思路参考：设直线AM的方程为x＝my＋2，利用yp＝3yM求解．解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋2(m≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m2＋4)y2＋4my＝0，得点M的纵坐标为yM＝.将x＝my＋2代入圆的方程，整理得(m2＋1)y2＋4my＝0，得点P的纵坐标为yp＝.由＝3，得yP＝3yM，即＝.因为m≠0，解得m2＝，即m＝±.又直线AM的斜率k＝<0，所以k＝－.(2)因为MN是椭圆的直径，直线AM，AN斜率均存在，又kAMkAN＝－，由(1)知kAM＝，所以有kAN＝－，则kAN＝－.又yM＝，yP＝，所以＝＝.同理＝＝.所以＝＝·.下同解法1(略)．1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k的函数，从而求其最大值．2．基于新课程标准，解答本题一般需要掌握数学阅读技能，运算求解能力，体现了数学运算的核心素养．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解：(1)设F(c,0)，由题意知＝，解得c＝.因为e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)(方法一)显然直线l的斜率存在．设直线l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在线段AQ上．由得(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.由Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)>0，得k2>.则S△OPQ＝S△AOQ－S△AOP＝×2×|x2－x1|＝＝.令＝t，则4k2＝t2＋3且t>0，于是S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，所以l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.(方法二)依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－2.将其代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0，则Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)>0，即k2>.由弦长公式得|PQ|＝·.由点到直线的距离公式得点O到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝|PQ|×d＝××＝.设＝t(t>0)，则4k2＝t2＋3，所以S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立．故所求直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.