初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定公开课课件ppt

课题名

1.2.3 矩形的性质与判定的应用

教学目标

1.1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论;提高实际动手操作能力；

2.经历矩形性质及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法，增强学生的数学应用意识.

教学重点

矩形的性质与判定定理的综合运用.

教学难点

解题思路的分析,独立完成证明书写过程.

教学准备

教师准备：熟悉教材和课件.

学生准备：复习矩形的性质与判定定理.

教学过程

一、复习

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

性质和判定：

二、探索新知

根据矩形的性质求线段的长

例3    如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.   

思考：线段AE和哪条线段有关系？

这里用到了直角三角形的哪个性质？

分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，

∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，AC=BD,

AO=CO=AC，BO=DO=BD.

∴AO=BO=DO=BD

∵ED=3BE，∴BE=OE.

∵AE⊥OE，∴AB=AO.

∴AB=AO=BO，△ABO是等边三角形.

∴∠ABO=60°，

∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°

∴AE=AD=×6=3

矩形的判定

例4   已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. 

求证：四边形ADCE是矩形.   

分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，再结合已知条件和图形可以得到∠DAE=90°，最后根据矩形的判定定理证明。

证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，

∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM.

∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°.

在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.

又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.

∴四边形ADCE是矩形.

想一想：在上面的题目中，连接DE，交AC于点F，如图

（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；

（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论.

分析：（1）利用上题中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形；

（2）由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边

的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，

DF= AB.

解：（1）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：

∵四边形ADCE为矩形，

∴AE=CD，AC=DE．

又∵AB=AC，BD=CD，

∴AB=DE，AE=BD，

∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：DF∥AB，DF=AB．理由如下：

∵四边形ADCE为矩形，

∴AF=CF，

∵BD=CD，

∴DF是△ABC的中位线，

∴DF∥AB，DF= AB

三、过关练习

1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　）

A2.5 B．5 C．2.4   D．1.2

答案C

2. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.

(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，

∴AE＝DE.

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC(AAS)，

∴AF＝DC.

∵AF＝BD，∴BD＝DC；

(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∴AB＝AC，BD＝DC，

∴∠ADB＝90°.

∴四边形AFBD是矩形．

3.（2022云南中考）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．

（1）求证：四边形ABDF是矩形；

（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BA∥CD，

∴∠BAE＝∠FDE，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△BEA和△FED中，

，

∴△BEA≌△FED（ASA），

∴EF＝EB，

又∵AE＝DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵∠BDF＝90°．

∴四边形ABDF是矩形；

（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，

∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，

∴AF＝ ＝ ＝4，

∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝3，

∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，

∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18

四、课堂小结

本节课你学到了什么？

矩形的判定方法分两类：

从四边形来判定和从平行四边形来判定。

常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理，遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方法

布置作业

教材第19页习题1.6第2、3题.

板书设计

课题：1.2.3 矩形的性质与判定的应用

一、复习

二、根据矩形的性质求线段的长

三、根据矩形的性质求面积

教学反思

本课时，是综合运用的一节课，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。