华师大版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

华师大版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第21.22.23章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 二次根式除法可以这样理解：如像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是(    )
   若是的小数部分，则的值为；
   对于式子，对它的分子分母同时乘以或，均不能对其分母有理化；
   比较两个二次根式的大小；
   计算．

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知，，为正数，判断与的关系是提示：数形结合(    )

A.  B.  C.  D.

4. 要使代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若关于的方程的根是整数，则满足条件的整数的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 若实数，分别满足方程，，则的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
   如果是方程的根，则是等腰三角形；
   如果方程有两个相等的实数根，则是等边三角形；
   如果是等边三角形，则这个一元二次方程的根为和．
   其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，是方程的两根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向上，向右，向下，向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，点、、分别为边、、的中点，分别联结、、、，点是与的交点，下列结论中，正确的个数是(    )
    的周长是周长的一半；
    与互相平分；
    如果，那么点到四边形四个顶点的距离相等；
    如果，那么点到四边形四条边的距离相等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点运动后，第次碰到矩形的边时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，、、规定“把▱先沿轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，▱的顶点的坐标变为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 实数、、在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值______．

14. 若最简二次根式与能合并成一项，则________．
15. 当关于的一元二次方程有实数根，且其中一个根为另一个根的倍时，称之为“倍根方程”如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，那么的值为______．
16. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 计算
    
     
18. 已知，求的值．
19. 已知：二次函数，当时，函数有最大值．
    求此二次函数图象与坐标轴的交点；
    将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为，，，，当以为直径的圆与轴相切时，求的值．
    若点是中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值．
20. 阅读材料：
    材料一元二次方程的两根，有如下的关系韦达定理，
    材料有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决下面介绍两种基本构造方法：
    方法利用根的定义构造例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根．
    方法利用韦达定理逆向构造例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根．
    根据上述材料解决下面问题：
    已知实数、满足、，求的值．
    已知实数、、满足、，且，求的最大值．
21. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
    若是原方程的两根，且，求的值，并求出此时方程的两根．
22. 再读教材：
    宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．提示：
    第一步，在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
    第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
    第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处．
    第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图中就会出现黄金矩形．
    
    问题解决：
    图中______保留根号；
    如图，判断四边形的形状，并说明理由；
    请写出图中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
23. 如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接、．
    求证：四边形是平行四边形；
    当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．

24. 感知：如图，在中，、分别是、两边的中点，延长至点，使，连结易知≌．
    
    探究：如图，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．
    应用：如图，在中，，，，是的中位线．过点、作，分别交边于点、，过点作，分别与、的延长线交于点、，则四边形周长的取值范围是______．
25. 如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．
    求的面积．
    若过作交轴于，且，分别平分，，如图，求的度数．
    在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若是的小数部分，则，，故错误；
，
，
均不能对其分母有理化，
故正确；
，
，
，
故错误．



．
故正确．
故选：．
，把直接分母有理化即可判断；
按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断；
把和分别分母有理化比较大小即可；
把的各项先分母有理化，再裂成两项计算即可；
本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识：分母有理化．解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，故本选项错误；
B、原式，故本选项正确；
C、原式，故本选项错误；
D、原式，故本选项错误；
故选：．
根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答．
本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基础题，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：作，平分，取，，，连接，，，，如图，

，
．
平分，
．
由余弦定理得：
，
，
，
．
故选：．
利用数形结合法，画出几何图形，利用勾股定理和余弦定理解答即可．
本题主要考查了二次根式的性质，勾股定理，余弦定理，利用数形结合的思想，利用几何图形解答是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故选：．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，原方程为，
解得：，
符合题意；
当时，，
解得：，，
方程的根是整数，
为整数，为整数，
．
综上可知：满足条件的整数为、和．
故选：．
当时，可求出的值，根据的值为整数可得出符合题意；时，利用分解因式法解一元二次方程可求出的值，再根据的值为整数结合的值为整数即可得出的值．综上即可得出结论．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由实数，满足条件，，
可把，看成是方程的两个根，
，，
．
故选A．
由实数，满足条件，，可把，看成是方程的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把，看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
直接将代入得出关于，的等式，进而得出，即可判断的形状；
利用根的判别式进而得出关于，，的等式，进而判断的形状；
利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，灵活应用所学知识是解题关键．
【解答】
解：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形．
是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
是等边三角形，
可整理为：，
，
解得：，．
故其中正确的是．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程解的定义．
根据一元二次方程解的定义得到，即，根据根与系数的关系得到，，然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【解答】
解：、是方程的两根，
，，，
，
则原式


．  

9.【答案】 

【解析】解：，横坐标，每循环一次向右平移个单位，
点的横坐标为：，点的纵坐标与点的纵坐标相同为：，
故点的坐标为：．
故选：．
根据图象可得移动次图象完成一个循环，分别得横纵坐标，从而可得出点的坐标．
本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
 

10.【答案】 

【解析】解：点、、分别为边、、的中点，
，，，
，
的周长是周长的一半，故正确；
点、、分别为边、、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分，故正确；
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，
点到四边形四个顶点的距离相等，故正确；
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，是菱形两组对角的平分线，
点到四边形四条边的距离相等，故正确．
综上所述：正确的是，共个，
故选：．
根据三角形中位线定理即可解决问题；
根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题；
证明四边形是矩形，进而可以解决问题；
证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了点的坐标的规律变化，作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解答】
解：如图：

由图可知：动点经过次反弹后依次经过点，每次为一个循环组，
，
当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，
此时点的坐标为．
故选B．  

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，、、，
，
把▱先沿轴翻折，再向左平移个单位后，
，
观察，发现规律：，，，，，
，
对于横坐标，每次变换减一，
对于纵坐标，奇数次变换为，偶数次变换为，
经过次变换后，．
故选：．
先利用平行四边形的性质求出点的坐标，再将前几次变换后点的坐标求出来，观察规律即可求解．
本题考查翻折变换，点的坐标规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出的坐标，再利用变换的规律求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：从数轴可知：，，
原式

，
故答案为：．
根据数轴得出，，根据二次根式的性质得出，去掉绝对值符号后合并即可．
本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于的方程是解题的关键先化简，然后依据同类二次根式的被开方数相同列方程求解即可．

【解答】

解：最简二次根式与可以合并，
又，
．
解得：．
故答案为．

15.【答案】或 

【解析】解：，
，
，，
由题意或，
或，
当时，；
当时，；
经检验，或均符合题意。
故答案为或．
利用十字相乘法求出方程的根，根据题意转化为方程即可解决问题；
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是学会因式分解法解方程，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且，
当点在上除点、的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点的运动轨迹是线段，如图所示，

当时，取得最小值，
四边形是矩形，
，，，
，
为的中点，
，
连接、，作于，作于，
则的最小值为的长，是的中位线，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
设，则，
由勾股定理得：
，
即，
解得：，
，
．
故答案为：．
由中位线定理可得点的运动轨迹是线段，再由垂线段最短可得当时，取得最小值，连接、，作于，作于，则的最小值为的长，是的中位线，由勾股定理求出、、的长，由三角形中位线定理得出的长，设，则，由勾股定理得，解得，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；

原式

． 

【解析】直接利用平方差公式计算得出答案；
首先化简二次根式进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：




，
，
，
，，，
则原式




． 

【解析】先将所求式子分母有理化，然后化简，再根据，可以用的代数式表示，再将关于的式子代入化简后的式子，整理化简即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的计算方法．
 

19.【答案】解：抛物线的对称轴为：．
，抛物线开口向上，大致图象如图所示．

当时，随增大而增大；
由已知：当时，函数有最大值．
当时，，
，得：．
．
令，得，令，得或，
抛物线与轴交于，
抛物线与轴交于、；

，
其折叠得到的部分对应的解析式为：，其顶点为．
图象与直线恒有四个交点，
．
由，解得，
，．
当以为直径的圆与轴相切时，．
即：，
，
，
得，
，
．
另法：直径，且与轴相切，
，
对称轴为直线，
，则，
又在上，
，
得，
，

若关于的一元二次方程恒有实数根，则须恒成立，即恒成立，即恒成立．
点是中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，
，
   取 值之下限
实数的最大值为． 

【解析】此题主要考查了二次函数综合以及一元二次方程根的判别式等知识，利用分段函数讨论得出的取值范围是解题关键．
根据函数解析式作出大致图象，结合函数图象的增减性和对称性质解答；
其折叠得到的部分对应的解析式为：，其顶点为结合函数图象得到的取值范围为根据函数与直线的交点方程求得，易得的长度．当以为直径的圆与轴相切时，由此求得的值；
由根的判别式知，恒成立，即恒成立，即恒成立．根据点是中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，则，由二次函数函数值的取值范围求得实数的最大值．
 

20.【答案】解：当时，
实数、满足，，
、可看作方程的两根，
，

当，则原式；
综上所述，原式的值为或；
，
将、看作是方程的两实数根，

而，


即
的最大值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了判别式的意义．
当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，再利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式；
将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值．
 

21.【答案】证明：，
，
无论取何值，恒大于，
原方程总有两个不相等的实数根；
解：，是原方程的两根，
，，
，
，
，
，
，
解得：，，
当时，原方程化为：，
解得：，，
当时，原方程化为：，
解得：，． 

【解析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据关于的一元二次方程的根的判别式的符号来判定该方程的根的情况；
根据根与系数的关系求得，；然后由已知条件“”可以求得，从而列出关于的方程，通过解该方程即可求得的值；最后将值代入原方程并解方程．
 

22.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质得：，
在中，；
故答案为；
四边形是菱形．
证明：由折叠可知：，，，
，
，
，
，
即，
四边形为菱形；
图中的黄金矩形有：矩形，矩形；
理由：，，
，，
，
故矩形是黄金矩形；
，
故矩形是黄金矩形．
连接，由折叠的性质，可得，在中，利用勾股定理可求出的长度．
由折叠可知：，，，结合平行线的性质可得，即可得，即可判定四边形为菱形；
首先求出，，再由黄金矩形的定义即可作出判断．
本题主要考查黄金分割，黄金矩形，菱形的判定，折叠与对称的性质，掌握黄金分割的概念是解题的关键．
 

23.【答案】证明：点、分别是边、的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，则，
，
四边形是平行四边形；

当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，
理由：点是边的中点，是等腰直角三角形，
，且，
平行四边形是正方形． 

【解析】首先利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而得出，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
利用等腰直角三角形的性质结合正方形的判定方法得出即可．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及正方形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】探究：证明：如图，延长至点，使，连接，
在和中，，
≌．
，．
，
，
，
，
，
；

应用：解：如图，
，，
四边形是平行四边形，
，，
是的中位线，
，，
，
四边形周长，
时，最短，
即：四边形的周长最小，
过点作于，

在中，，，
，，
，

四边形的周长最小为，
四边形的周长最大为，如图
故答案为：．
探究：先判断出≌进而得出，再判断出得出即可得出结论；
应用：先判断出四边形是平行四边形，再判断出，进而判断出时，四边形的周长最小和点和重合时最大，最后构造出直角三角形求出即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解探究关键是≌，解应用的关键是判断出时，四边形的周长最小和点和重合时最大．
 

25.【答案】解：，
，，
，，
，．
，，
，，则．

如图中，过作．

轴，
轴，，
．
又，
，
．
，
，
，．
，分别平分，，
，，
．

当在轴正半轴上时，如图中．

设点，分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，，则，，，．
，
，
，解得，即点的坐标为．
当在轴负半轴上时，如图，同作辅助线．

设点，则，，．
，
，
解得，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】利用非负数的性质求出，的值即可解决问题．
如图甲，过作利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可．
分两种情形：当在轴正半轴上时，如图中．当在轴负半轴上时，如图，分别求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质、三角形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关图形之间的面积关系列出关于和的方程是解题的关键．