2021-2022学年湖北省十堰市高一下学期期末调研考试数学试题含答案

2021-2022学年湖北省十堰市高一下学期期末调研考试数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合, 再根据集合的关系判断得解.

【详解】解：由题意得，

所以.

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B

2. 已知钝角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由诱导公式结合定义求解即可.

【详解】，由题意得，钝角的终边经过点，所以，所以．

故选：B

3. 已知复数，若为纯虚数，则在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法化简复数，由为纯虚数可求得的值，再利用复数的几何意义判断可得出结论.

【详解】由题意得，

因为为纯虚数，所以，即．

所以在复平面内对应的点在第一象限．

故选：A.

4. 已知某圆柱的高为10，底面周长为，则该圆柱的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出圆柱的底面圆半径，再利用圆柱体积公式求解作答.

【详解】设圆柱底面圆半径为r，由，得，

所以圆柱的体积为．

故选：C

5. 若，，且，则的最小值为（    ）

A. 9 B. 16 C. 49 D. 81

【答案】D

【解析】

【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.

【详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．

故选：D

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对数指数混合类型的比大小常见方法是找中间量，例如本题可以找到中间量，即可得出答案.

【详解】因为，，所以．

故选：B.

7. 若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由二倍角的余弦结合解出的范围解出，再利用诱导公式即可求解

【详解】由，得．

因为，所以，

所以，所以

所以．

故选：A

8. 已知一组数据，，，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知可得，再根据方差公式结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：由题意得，得，

所以这组数据的方差

，

所以这组数据方差的最小值为7.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知，，，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 与夹角的余弦值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，根据向量的坐标运算求解即可；

对B，根据向量平行的坐标公式判断即可；

对C，根据向量垂直数量积为0判断即可；

对D，根据平面向量的夹角公式求解即可

【详解】对A，，故A正确；

对B，，，因为，故B错误；

对C，因为，，故，故C正确；

对D，．故D正确

故选：ACD

10. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量（亿立方米）与当月增速（%）如图所示，则（    ）

备注：日均产品产量是以当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到．

当月增速．

A. 2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点

B. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6%

C. 2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米

D. 2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A选项，对比11月份与12月份的增速即可判断；对于B选项，利用极差的定于即可判断；对于C选项，计算可知7月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米，从而判断C选项错误；对于D选项，根据40%分位数的含义求解即可

【详解】2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速为2.3个百分点，11月份增速为个百分点，比上月放缓2.1个百分点.故A正确；

2021年4月至12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为.故B正确；

2021年7月我国规模以上工业天然气产量为亿立方米.故C错误

2021年4月至12月我国规模以上工业天然气日均产量从小到大为5.1，5.1，5.2，5.3，5.4，5.6，5.7，5.9，6.2，因为，所以该组数据的40%分位数为5.3亿立方米．故D正确

故选：ABD

11. 将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A.  B. 的图像关于直线对称

C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递增

【答案】BC

【解析】

【分析】由平移和伸缩变换判断A；采用代入法判断BC；由正弦函数的单调性判断D.

【详解】由题意得，，A错误．，B正确．因为，所以的图像关于点对称，C正确．由，得，所以在上不单调递增，D错误．

故选：BC

12. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 线段上存在点，使平面

C. 线段上存在点，使平面平面

D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．

对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，

所以 ，，，

设（），则

所以，

平面即

解之得

当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确

对于C，设平面的法向量

则，取

得

设平面 的法向量 ,

则

取 , 得 ,

平面平面

设 , 即 ,

解得 ，，不合题意
线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．

对于D，平面的法向量为

则

因为

所以

所以的最大值为．故D正确．

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13. 已知函数，则________，函数的零点为________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据给定的分段函数求出函数值即可，再直接求出方程的解作答.

【详解】依题意，，

由得，即，解得，或，无解，

所以数的零点为.

故答案为：；

14. 已知复数、是关于的方程的两个根，则________．

【答案】

【解析】

【分析】解方程，求出、，利用复数的加法与复数的模长公式可求得结果.

【详解】由可得，所以，.

①当，时，则；

②当，时，则.

综上所述，.

故答案为：.

15. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积______．

【答案】##

【解析】

【分析】先由斜二测画法得，再结合底面求出外接球半径，即可求解.

【详解】

由题意得，且．所以由斜二测画法得，原图中，，，，

所以三棱锥外接球的半径，则．

故答案为：.

16. 剪纸艺术是一种中国传统民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图1所示，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为________．

【答案】##

【解析】

【分析】由题意可知可以是与在上投影向量的数量积．结合图形可知当与重合时，取到最大值.

【详解】可以是与在上投影向量的数量积．如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，

连接，，连接，交于点，易得，在上，．

过作，垂足为点，过作，垂足为点．

由题意得，，所以，，

所以，所以．易证四边形为矩形，

所以．易得，

所以．

所以当与重合时，．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 盐碱地里面所含的盐分会影响到作物的正常生长，我国约有15亿亩盐碱地，其中约有2亿~3亿亩具备改造为农田的潜力，可以种植海水稻.2020年10月14日，由袁隆平“海水稻”团队和江苏省农业技术推广总站合作试验种植的耐盐水稻在江苏如东栟茶方凌垦区进行测产，袁隆平“超优千号”的盐碱地水稻平均亩产量为802.9公斤，某统计员对100亩实验田种植的“超优千号”杂交水稻的亩产量（单位：公斤）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出的频颜率分布直方图如图所示．

（1）规定实验田种植的“超优千号”杂交水稻的平均亩产量不低于800公斤为高产，试问这100亩实验田种植的“超优千号”杂交水稻是否高产；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

（2）若某地有2000亩实验田种植“超优千号”杂交水稻，试估计这2000亩实验田中亩产量低于750公斤的实验田有多少亩．

【答案】（1）高产    （2）600亩

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图计算该实验田种植的“超优千号”杂交水稻的平均亩产量，再判断是否大于800即可；

（2）根据这2000亩实验田中亩产量低于750公斤的频率估计即可

【小问1详解】

该实验田种植的“超优千号”杂交水稻的平均亩产量为，所以这100亩实验田种植的“超优千号”杂交水稻高产．

【小问2详解】

该实验田中亩产量低于750的频率为，

所以2000亩实验田中亩产量低于750公斤的实验田有亩．

18. 记的内角的对边分别为，且．

（1）求的大小；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理可得，根据的范围求得结果；

（2）利用三角形面积公式求得；根据余弦定理可求出，利用可求得，进而可得周长.

【小问1详解】

由正弦定理得，所以

，

得，因为，所以，

得，又，

所以．

【小问2详解】

由，得，

由余弦定理，得，

得，

得，

所以的周长为．

19. 已知函数的部分图像如图所示．

（1）求的解析式；

（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由图像结合余弦函数的性质得出的解析式；

（2）由余弦函数的性质得出的值域，进而由的图像与直线有两个交点得出的取值范围．

【小问1详解】

由图可知，

由，得，

得．

因，所以，

得，

又，所以，

故．

【小问2详解】

由题意可知，的图像与直线有两个交点．

因为，所以．

因为，，所以，

得，故的取值范围为．

20. 如图，在直三棱柱中，，M，N分别为棱、的中点．

（1）证明：平面．

（2）求点B到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）取中点．连接，证明平面平面后可得线面平行；

（2）利用计算点B到平面的距离．

【小问1详解】

取中点．连接，

因为在直棱柱中，分别是中点，

所以， ，，

平面，平面，所以平面，同理平面，

，平面，

所以平面平面，又平面，

所以平面；

【小问2详解】

连接,，由直棱柱平面，知平面，

而平面，所以，同理，

，，

，，

，，，

中，，所以，

，

设到平面的距离为，

则，

所以．即点B到平面的距离为．

21. 疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从处出发，前往，，，4个小区运送生活物资，已知，，，与的交点为，且，．

（1）分别求，的长度．

（2）假设，，，，，，，均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别在中，在中，由余弦定理可求得答案；

（2）如图，过作，垂足为点，过作，垂足为点．由平面几何可得，求得，．由的长度最长，，的长度最短，所以路线避免选择，选择，，最佳路线为，由此可求得答案.

【小问1详解】

解：在中，由余弦定理得，

解得．

因为，，所以．

在中，由余弦定理得，

解得．

【小问2详解】

解：如图，过作，垂足为点，过作，垂足为点．

因为，，所以，，

得四边形为矩形，所以，，

所以．

因，所以，所以，．

因为的长度最长，，的长度最短，所以路线避免选择，选择，，

所以最佳路线为，此路线的长度为，

故小赵完成运送生活物资任务的最短时间为．

22. 如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，，形成的多面体如图2所示．

（1）证明：．

（2）若二面角的大小为，是线段上的一个动点（与，不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）体积之和是定值

【解析】

【分析】（1）先证平面，再由平面即可得证；（2）连接交于，则为的中点．易证就是二面角的平面角，即．过作，垂足为点，过作，垂足为点，易证平面，平面，从而．又易求，故

四棱锥与四棱锥的体积之和是定值

【小问1详解】

证明：如图，连接交于，则为的中点．

∵，∴，即，．

∵，平面，

∴平面．

又∵平面，

∴．

小问2详解】

四棱锥与四棱锥的体积之和是定值．

理由如下：

如图，连接交于，则为的中点．

由正六边形的性质，可知，∴．

同理可证，，故平面．

∴就是二面角的平面角，即．

过作，垂足为点，过作，垂足为点．

∵平面，

∴，，

∴平面，平面，

∴．

在中，，，

∴，，

得．

∴．

即四棱锥与四棱锥的体积之和是定值．