2021-2022学年湖南省五市十校教研教改共同体高一下学期期末数学试卷word版含答案
展开姓名______ 准考证号______
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
五市十校教研教改共同体·2022年上学期高一期末考试
数学
命题:天壹名校联盟命题组审题:南县一中郭劲松
本试卷共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,,则( )
A. B. C. D.
2.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次,至少击中2次的概率,先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数,指定0.1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标.因为射击3次,故以每3个随机数为一组,代表射击3次的结果,经随机模拟产生了以下20组随机数:
572 029 714 985 034 437 863 964 141 469
037 623 261 804 601 366 959 742 671 428
据此估计,该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为( )
A.0.8 B.0.85 C.0.9 D.0.95
3.设,,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知函数(且,,为常数)的图象如图,则下列结论正确的是( )
A., B.,
C., D.,
5.若,则( )
A. B. C. D.
6.已知,,,在下列条件中,使得成立的一个充分而不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.函数的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设,,,是平面内四个不同的点,且,则向量与( )
A.同向平行 B.反向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.对于任意两个向量,,下列命题中正确的是( )
A. B.
C.若,则 D.
10.下列命题中正确的是( )
A.若复数满足,则 B.若复数满足,则
C.若复数满足,则 D.若复数满足,则
11.已知直线是函数的一条对称轴,则( )
A.点是函数的一个对称中心
B.函数在上单调递减
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.函数与的图象关于直线对称
12.在正三棱柱中,,点满足,其中,,则下列说法正确的是( )
A.当时,则存在点,使得
B.当时,则存在点,使得,,三点共线
C.当时,则存在点,使得,,,四点共面
D.当时,则存在点,使得
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设(其中为虚数单位),则______.
14.若,,,则以,为邻边的平行四边形的面积是______.
15.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的内切球(球与圆锥的底面和侧面均相切)的表面积为______.
16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点”.在中,已知,且,现以,,为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为,,,则的面积最大值为______.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知函数
(1)讨论函数的周期性和奇偶性;
(2)若,,求的值.
18.(本小题满分12分)
如图,在长方体中,,分别是线段,的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,直线与所成角的余弦值是,求四面体的体积.
19.(本小题满分12分)
读书可以增长知识,开拓视野,修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本,其中男生40名,女生60名.经调查统计,分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位:小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位:小时)的频率分布直方图.
男生一周阅读时间频数分布表 | |
小时 | 频数 |
9 | |
25 | |
3 | |
3 |
(1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数;
(2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数;
(3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人,再从这6人中任意抽取2人,求恰好抽到一男一女的概率.
(注:以各组的区间中点值代表该组的各个值)
20.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,,,两两互相垂直,,分别是,的中点.
(1)证明:;
(2)设,,和平面所成角的大小为,求二面角的大小.
21.(本小题满分12分)
目前,新冠还在散发,防疫任重道远,经济下行,就业压力大,为此,国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了,两家小店,每家店各有2名员工.五一期间,假设每名员工请假的概率都是,且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假,而另一家店没有人请假,则调剂1人到该店以维持正常运转,否则该店就关门停业.
(1)求有员工被调剂的概率;
(2)求至少有一家店停业的概率.
22.(本小题满分12分)
已知的三个内角,,的对边分别为,,,且
(1)若,判断的形状并说明理由;
(2)若是锐角三角形,求的取值范围.
2022年上学期高一期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.【命题意图】考查集合有关知识.
【答案】B
2.【命题意图】考查随机模拟.
【答案】C
3.【命题意图】考查三角,幂、指、对函数值大小比较
【答案】D
【解析】因为,,,所以,故选D.
4.【命题意图】考查对数函数图象及平移变换.
【答案】D
【解析】因为函数为减函数,所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴,所以,即
又因为函数图象与轴有交点,所以,所以,故选D.
5.【命题意图】考查简单三角变换
【答案】A
【解析】由,得故选A.
6.【命题意图】考查逻辑用语及不等式等知识.
【答案】A
【解析】对于A:若,则,则,反之不行,所以是成立的充分不必要条件;
对于B:,所以是成立的充要条件;
对于C:取,,得不是的充分条件;
对于D:取,,得不是的充分条件,故选A.
7.【命题意图】考查函数零点,函数应用等知识.
【答案】C
【解析】在同一直角坐标系内画出函数和的图象,由图象知,函数和恰有3个交点,即函数有3个零点,故选C
8.【命题意图】考查平面向量共线等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养.
【答案】B
【解析】设,,则原式可化为
即,亦即
所以,所以与反向平行,故选B
9.【命题意图】考查平面向量有关概念等知识.
【答案】AD
10.【命题意图】考查复数概念.
【答案】ACD
【解析】设复数,是虚单位.
对于A,由得,则,所以A正确;
对于B,取,可得,所以B不正确;
对于C,由得,,则,所以C正确;
对于D,因为,由得,,所以D正确,故ACD
11.【命题意图】考查三角函数的图象与性质.
【答案】BD
【解析】因为直线是函数的一条对称轴,
所以,∴,
故函数,因为,所以A错误;
当时,,所以函数在上单调递减,故B正确;
函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,所以C错误;
因为,所以D正确,故选BD.
12.【命题意图】考查向量及空间线面位置关系等知识及直观想象,逻辑推理等数学素养.
【答案】BCD
【解析】由题知
对于选项A和B,当时,点在线段上,故直线与异面,所以A错误;
当为线段的中点时,,,三点共线,所以B正确;
对于选项C,当时,取线段、的中点分别为,,连接,
因为,即,所以,则点在线段上.
当位于与的交点处时,,,,四点共面,所以C正确;
对于选项D:当时,取的中点,的中点,因为,,所以,则点在线段上,当点在点处时,取的中点,连接,,因为平面,又平面,所以
在正方形中,.又,,平面.
故平面,又平面,所以,所以D正确,故选BCD
13.【命题意图】考查复数运算及复数的模概念.
【答案】
14.【命题意图】考查平面向量运算及几何意义.
【答案】
【解析】由得,于是该平行四边形的面积
15.【命题意图】考查简单几何体的表面积
【答案】
【解析】由题意知,圆锥的轴截面是边长为的正三角形,圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径,即,于是该圆锥的内切球的表面积为.
16.【命题意图】考查解三角形,基本不等式的应用等知识及数学运算,逻辑推理等数学素养.
【答案】
【解析】设的三个内角,,的对边分别为,,.
由题设得,
∴,,
故
在中,由余弦定理可得
即
又,∴
即(等号当时成立),
故
17.【命题意图】考查简单三角变换、三角函数的性质等知识及数学运算等数学素养.
【解析】
(1)因为
所以函数是周期为,为奇函数
(2)由,得,即
因为,所以,
于是或
故或
18.【命题意图】考查空间线面位置关系、线线角、简单几何体体积等知识及直观想象、数学运算,逻辑推理等数学素养.
【解析】(1)设为的中点,连接,
则,
又平面,平面
所以平面,平面,
因此平面平面
从而平面
(2)由(1)知,是异面直线与所成角,所以
在中,因为,.
所以
因此
19.【命题意图】考查统计应用、概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养.
【解析】(1)由女生一周阅读时间的频率分布直方图知,阅读时间的众数是3
设女生一周阅读时间的75%分位数为,
解得
(2)由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数
所以估计总样本的平均数
(3)由频数分布表,频率分布直方图知,一周课外阅读时间为的学生中男生有3人,女生有(人)
若从中按比例分配抽取6人,则男生有1人,记为,女生有5人,记为,,,,,
则样本空间,共有15个样本点.记事件“恰好一男一女”,则
故所求概率
20.【命题意图】考查空间线面位置关系、线面角、二面角等知识及直观想象,数学运算、逻辑推理等数学素养.
【解析】(1)取的中点,连接,.
因为,分别是,的中点.
所以,
又因为,
所以,
从面平面.
又平面,所以.
(2)因为,,所以平面,
所以为二面角的平面角
又因为,,所以平面,.
连接,则
在中
因为,所以平面.
故是和平面所成的角
即,且.
在中,,,
所以
故所求二面角的大小为
21.【命题意图】考查互斥事件、独立事件概率求解等知识及数据分析、数学运算等数学素养.
【解析】记事件“家小店有名员工请假”,“家小店有名员工请假”,其中
由题设知,事件,相互独立,且
,
(1)记事件“有员工被调剂”,则,
且,互斥,所以
故有员工被调剂的概率为
(2)记事件“至少有1家店停业”,则
且,,互斥,
所以,
故至少有一家店停业的概率为
22.【命题意图】考查平面向量数量积,解三角形及函数性质应用等知识及数学运算、逻辑推理等数学素养
【解析】由数量积的定义得,.
由余弦定理得
即
(1)是等边三角形.
由正弦定理及得,即
因为,所以或
当时,是等腰三角形,此时,所以是等边三角形;
当,即时,是直角三角形,这与矛盾.
故是等边三角形.
(2)不妨设,由得,
于是
又因为是锐角三角形、所以,
即,因此
由余弦定理得,
令,则,函数在上单调递增.
所以,因此
故的取值范围是
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