2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末数学试题含解析

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】原复数化为（3m﹣2）+i（m﹣1），再根据m的范围确定.
【详解】m（3+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），
∵
∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0
∴所对应的点在第四象限
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题.
2．已知为不共线的非零向量，，，，则（       ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】B
【分析】根据向量的共线定理，对每个选项逐个分析.
【详解】由于为不共线的非零向量，向量，向量显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；，于是三点共线，B选项正确；又，显然和也没有倍数关系，D选项错误.
故选：B.
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，
高中生的近视人数为，故选B.
【考点定位】
本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.
4．如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为，则球的体积为 （       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆柱的表面积求出球的半径，再根据球的体积公式可求出结果.
【详解】设球的半径为，
则圆柱的表面积为，
所以，得，
所以球的体积为.
故选：B
5．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
6．在四棱柱中，平面，，底面是边长为4的菱形，且，，，是的中点，则点到平面的距离为（       ）
A．2 B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.
【详解】易得平面，所以，．
又，所以分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

因为底面是边长为4的菱形，，所以，，
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，，则是平面的一个法向量．
设点到平面的距离为．因为是的中点，所以，，则，
所以点到平面的距离为．
故选：C.
7．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（       ）．
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
【答案】C
【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．
【详解】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，
∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3
方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
8．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（   ）
A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
【解析】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
二、多选题
9．2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误的是（       ）

A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降
B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%
【答案】ACD
【分析】根据统计图，结合上升和下降的情况以及数据逐一判断即可.
【详解】对于A：2016年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；
对于B：由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；
对于C：由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为800万，2020年滑雪人次为1750万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；
对于D：由统计图可知，2016车至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为，故D错误，
故选：ACD.
10．已知向量，则（       ）
A． B．若，则 C．若，则 D．
【答案】ACD
【分析】A用向量相等判断，B用向量共线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断.
【详解】显然，A对，
得：或，B错，
，，C对，
，，D对．
故选：ACD
11．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（       ）

A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD1C1
C．直线BN与B1M所成的角为60°
D．BN∥平面ADM
【答案】BC
【分析】由点线面之间的关系，及面面垂直，线面平行的判定方法，依次判断各选项即可得出结果.
【详解】如图所示，对于A，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；
对于B，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；
对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；
对于D，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．
故选：BC.

12．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（       ）
A．角C可以为锐角 B．
C．的最小值为 D．
【答案】BD
【分析】选项A，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得，即可判断；
选项B，由A和余弦定理，即可判断；
选项D，结合选项的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出，从而可判断；
选项C，结合选项D的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，结合基本不等式，即可判断．
【详解】解：∵，
∴，即，∴，
又，∴C一定为钝角，故选项A错误；
由余弦定理知，，化简得，故选项B正确；
∵，
∴，故选项D正确；
∵，
∴，
∵C为钝角，∴，，
∴，当且仅当，
即时，等号成立，
此时取得最大值，故选项C错误.
故选：BD.
三、填空题
13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.
【答案】
【分析】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.
【详解】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时.
故答案为: .
14．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦查艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为______.

【答案】
【分析】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，即可得到，，在中，利用余弦定理得到关于的方程，求解得到，从而得到，再利用正弦定理得到，由同角的平方关系即可得到.
【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.
根据余弦定理得，解得，故，.
根据正弦定理得，解得，
因为，所以，
故答案为：.
15．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______.

【答案】
【分析】方法一：以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换知识可表示出，则当时可得所求最大值；
方法二：根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到，由此可求得最大值.
【详解】方法一：以点为坐标原点，为轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，
点在以为圆心，为半径的圆上，可设，
，，
，
则当时，取得最大值.
方法二：，
则当与同向，即时，取得最大值为.
四、双空题
16．如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________.

【答案】     1    
【解析】取的中点为E，分别连接和，利用面面平行的性质定理证明，又，可证得四边形为平行四边形，进而可得为的中点，进一步计算可得的值；球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，通过分析计算可得为等边三角形，进而可求出弧PQ的长度.
【详解】取的中点为E，分别连接和，
细查题意知，只有当是的中点时，才满足题意，原因如下：
当是的中点时，，，，
平面，平面，
∵，
∴平面平面，
∵平面，
平面，
平面平面，
又平面平面，平面平面，
，又，
四边形为平行四边形，
，即为的中点，
所以；
球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，
，，
，即，易得，
取的中点为，故可得，
平面平面，平面，
平面平面，
圆心距，设交线的轨迹为PQ，，
截面圆半径，
又因为，所以为等边三角形，
.
故答案为：1，.

【点睛】方法点睛：对于第一空，证明四边形为平行四边形，可利用面面平行的性质定理；对于第二空，通过作出图形，分析截面圆的特征，然后进行几何计算，进而得出为等边三角形，最后计算弧长.
五、解答题
17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）说法不正确；
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；
试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：

（Ⅱ）不正确，理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为共4种，所以中奖的概率为，不中奖的概率为，故这种说法不正确．
【解析】概率统计
【名师点睛】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时（x，y）可以看成是有序的，如（1,2）与（2,1）不同．有时也可以看成是无序的，如（1,2）（2,1）相同．
18．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1