2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高一下学期期末考试数学试题含解析

2021-2022学年辽宁省朝阳市建平县高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知复数，那么（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数除法运算可求得，根据复数模长运算可计算得到结果.

【详解】，.

故选：A.

2．若是第二象限角，则是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】A

【详解】为第二象限角，不妨取，则为第一象限角，故选A．

3．若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：由公式可得结果.

详解：

故选B.

点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.

4．已知单位向量，，满足，且，的夹角为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数量积的运算求出，即可求解.

【详解】因为，，

所以

解得，

由，可得，

所以，

故选：D

5．已知函数（，且）的图象过定点，为坐标原点，射线是角的终边，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由题意，确定点的坐标，再由三角函数的定义求出，利用同角三角函数基本关系进行弦化切，即可求出结果.

【详解】根据题意，定点的坐标为，结合三角函数的定义得到，

又.

故选：C.

6．在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（       ）

A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解

【答案】C

【分析】利用正弦定理可得，由的取值范围可求得的范围，结合大边对大角可知为锐角的一个，由此可得结果.

【详解】由正弦定理得：，

，，则，

，

，，只能为锐角的一个值，只有一个解.

故选：C.

7．下列函数中是奇函数且最小正周期为的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合降次公式，二倍角公式对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】由选项A得，

所以该函数为偶函数，且最小正周期为，选项A错误；

对于选项B，，该函数为偶函数，且最小正周期为，选项B错误；

对于选项C，.该函数为偶函数.且最小正周期为，选项C错误；

对于选项D，，该函数是奇函数且最小正周期为,D选项正确.

故选：D

8．在中，，，，则的面积等于（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】先用余弦定理求出或2，进而利用三角形面积公式求出答案.

【详解】由余弦定理得：，解得：或2，经检验，均符合要求.

当时，；

当时，

故选：D

二、多选题

9．下列函数中，值域是的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用基本初等函数的性质以及不等式的性质求出各选项中函数的值域，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，，A不满足条件；

对于B选项，当时，则，所以，B不满足条件；

对于C选项，对于函数，，则，C满足条件；

对于D选项，对于函数，，则，D满足条件.

故选：CD.

10．已知，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】多项选择题，需要对选项一一验证：

借助于先求出，可以直接求出的值，判断B;

用判断C，二倍角公式判断A、D选项；

【详解】∵，，且

解得：

∴，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

∵，∴.

∵，∴，故D错误.

故选：AC

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)对于三角函数求值题，一般是先化简，再求值．

11．某调查机构获得如下两组样本数据：

第一组：26，9，15，8，15，20，24，20，21，32.

第二组：12，7，14，12，16，23，31，17，30，28.

则这两组数据的（       ）

A．平均数相等 B．中位数相等

C．极差相等 D．方差相等

【答案】AC

【分析】求得两组数据的平均数判断选项A；求得两组数据的中位数判断选项B；求得两组数据的极差判断选项C；求得两组数据的方差判断选项D.

【详解】对于A：第一组数据的平均数为，

第二组数据的平均数为，故A正确；

对于B：第一组数据的组数据的中位数,

第二组数据的组数据的中位数，故B错误；

对于C：第一组数据的组数据的极差，

第二组数据的组数据的极差，故C正确；

对于D：第一组数据的方差

第二组数据的方差，

故D错误.

故选：AC.

12．已知，，且，则下列结论正确的是（       ）

A．的最小值为2 B．当均不为1时，

C． D．

【答案】ABD

【解析】利用均值不等式和对数的运算结合的关系，对选项进行逐一判断即可.

【详解】因为，当且仅当时，等号成立，故A正确；

因为，所以，当，均不为1时，，故B正确；

因为，所以，

由A知，的最小值为2，所以，故C不正确；

，当且仅当时等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

三、填空题

13．若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据复数所在象限列出不等式组，求出m的取值范围.

【详解】由题意

解得：．

则m的取值范围是

故答案为：

14．已知向量，的夹角为60°，且，，则________.

【答案】2

【解析】利用平面向量数量积计算得出的值，进而可求得的值.

【详解】

，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的模的求法，属于基础题.求平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.

15．若， 则_________．

【答案】

【解析】由对数与指数的互化以及对数的运算即可求解.

【详解】解：，，

，，

，

.

故答案为：.

16．若函数在区间上单调递增，则的最大值是__________.

【答案】

【分析】直接利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可求解.

【详解】∵，∴，

要使在上单调递增，则，解得，

又∵，∴，则的最大值是.

故答案为：.

四、解答题

17．设向量满足，分别求满足下列条件的的值.

(1).

(2)向量的夹角为；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算出的坐标，根据向量垂直即数量积为0求解未知数.

（2）根据平面向量数量积的几何意义，列出向量夹角余弦值的表达式求解即可.

【详解】(1)，

因为，所以，

解得.

(2)因为，

所以，

则

解得.

18．如图，在中，是边上一点，.

（1）求的大小；

（2）求的长.

【答案】（1）；（2）8.

【分析】（1）直接根据余弦定理可求得结果；

（2）根据正弦定理可求得结果.

【详解】（1）在中，，

由余弦定理可得：.

.

（2），

在中，由正弦定理，得，即，解得.

19．已知，，且.

（1）求的值；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求；

（2）先根据，，求出，再根据求解即可.

【详解】（1）∵且，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

又∵，

∴，

，

所以.

【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题.

20．已知不透明的袋中装有三个黑球（记为，和）、两个红球（记为和），从中不放回地依次随机抽取两球．

(1)用集合的形式写出试验的样本空间；

(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．

【答案】(1)答案见详解

(2)

【分析】（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；

（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可．

【详解】(1)试验的样本空间

；

(2)设事件“抽到两个黑球”，则对于不放回简单随机抽样，

．

因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．

因此．

所以抽到的两个球都是黑球的概率为

21．设向量，，，函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为.

（1）求取得最大值时，的取值集合；

（2）令函数，对任意实数，恒有，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简，然后根据图象平移求解出的解析式，最后采用整体替换的方法求解出取最大值时的取值集合；

（2）根据已知条件将问题转化为“对恒成立”，由此采用换元法求解出，则结果可求.

【详解】解：（1）根据已知得到

，

将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

则，

由的最小正周期为，得，.

由，得，.

故当取最大值时，的取值集合为.

（2）由（1）得，

所以.

根据对任意恒成立，可得对任意恒成立.

令，，

因为，所以，

易得当时，函数取得最大值，

所以，故实数的取值范围为.

22．在中，角所对的边分别为，向量，，且．

(1)求角；

(2)若，的面积为，为边的中点，求的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，利用正弦定理边化角、两角和差正弦公式可化简求得，由此可得；

（2）由三角形面积公式可构造方程求得；利用余弦定理可求得，进而得到；在中，利用余弦定理可求得.

【详解】(1)，，由正弦定理得：，

又，

，

，

，，，又，.

(2)，；

由余弦定理得：，，

；

在中，由余弦定理得：，

解得：.