2022八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式第1课时同步课件新版新人教版

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第十四章 整式的乘法与因式分解14.2乘法公式第1课时1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征.（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）学习目标导入新课复习引入多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn讲授新课探究发现面积变了吗？相等吗？平方差公式①（x ＋ 1)( x－1）；②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1，想一想：这些计算结果有什么特点？x2 － 12m2－22(2m)2 － 12(5y)2 － z2(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.公式变形:1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b22.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2平方差公式平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等． (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2适当交换合理加括号(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1( 0.3x)2-12(a-b)(a+b)练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________. (3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2＝x2 - 4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．针对训练解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；例2 计算:(1) 102×98;(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .解: (1) 102×98（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)= 1002-22=10000 – 4 =（100＋2）(100－2)=9996；= y2-22-(y2+4y-5)= y2-4-y2-4y+5= - 4y + 1.针对训练计算:(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .解: (1) 原式=（50＋1）(50－1)= 502-12=2500 – 1=2499； (2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)= 9x2-16-6x2-5x+6= 3x2-5x-10.例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1.n为正整数，∴n2-1为整数方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？∵a2＞a2－16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)当堂练习C2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1 A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10（1）(a+3b)(a- 3b)；=4a2－9；=4x4－y2.原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2 ；=(2a)2－32 原式=(-2x2 )2－y2 原式=(a)2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用平方差公式计算：5.计算： 20152 － 2014×2016.解： 20152 － 2014×2016= 20152 － (2015－1)(2015+1)= 20152－ （20152－12 )= 20152－ 20152+12 =16.利用平方差公式计算:（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16.(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.将x＝2代入上式，原式=2×22-1=7.8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；拓展提升1－xn+1-632n＋1－2　x100－1　(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．a2－b2　a3－b3　a4－b4　课堂小结平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b22.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用