2022八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形第4课时同步课件新版新人教版

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第十三章 轴对称13.3等腰三角形第4课时1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）学习目标导入新课问题引入问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？讲授新课性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,含30°角的直角三角形的性质 证法1证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD, 证明方法：倍长法已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．∴BC = BD．　　∴BC = AB．　　 证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC.证明方法：截半法知识要点含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：∵　在Rt△ABC 中，　　∠C =90°，∠A =30°，　　√ 判断下列说法是否正确：1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm典例精析注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)A．3 B．2 C.1.5 D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．想一想：　图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例4　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高. ACBD15 °15 °20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15° (已知),∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，))方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.当堂练习1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )A．6米 B．9米 C．12米 D．15米2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A．300a元 B．150a元C．450a元 D．225a元BB4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .55.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=___.83.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = . 1第3题图第5题图6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．解：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．∵∠C=90°，7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE，∴BE=3AE.8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.拓展提升∴△ADC≌△BEA.证明：∵△ABC为等边三角形，∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，∵CD=AE，∴∠CAD=∠ABE.∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.∴∠BPQ=60°.又∵ BQ⊥AD，∴BP=2PQ.∴∠PBQ=30°，∴∠BQP=90°，课堂小结内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点含30°角的直角三角形的性质找准30 °的角所对的直角边，点明斜边注意前提条件：直角三角形中