华师大版九年级上册第21章 二次根式综合与测试单元测试综合训练题

华师大版初中数学九年级上册第21章《二次根式》单元测试卷

考试范围：第21章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 化简二次根式的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不同的实数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若为正数，则有(    )

A.  B.
C.  D. 与的关系不确定

4. 如果，那么一定是  (    )

A. 负数或零 B. 正数或零 C. 正数 D. 负数

5. 下列变形正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知，，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列各式的运算或变形中，用到分配律的是(    )

A.  B.
C. 由得 D.

8. 已知，，则有(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是．(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则此等腰三角形的周长为(    )

A.
B. 或
C.
D. 或或

12. 已知、为有理数，、分别表示的整数部分和小数部分，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若，则二次根式化简的结果为________．
14. 已知，当分别取，，，，时，所对应值的总和是            ．
15. 已知，那么______ ．
16. 已知矩形中，，，则矩形的面积是________

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，且、满足
    求点的坐标；
    如图，已知点，点、关于轴对称，连接交轴于，交的延长线于，求：的值；
    如图，若点、，连、，试确定的值是否发生变化？若不变，说明理由；若变化，请求出变化范围．
     

18. 观察下列各等式：
    
    
    
    
    按以上等式规律，请完成第个等式______；
    按以上等式规律，请完成第个等式______，并证明这个等式的正确性；
    直接写出等式右边等于的等式．
19. 计算：
    
    求当，时，代数式的值．
20. 计算求值 ，为实数，且，，求的值．
21. 已知：，求的值。
22. 在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为、、；
    求此三角形的面积及最长边上的高．

23. 计算：
24. 已知二次根式．
    求使得该二次根式有意义的的取值范围；
    已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积．
25. 如图是一张等腰直角三角形彩色纸，要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为，用这些纸条为一幅正方形照片镶边纸条不重叠图和图是两种不同裁法的示意图．
    
    求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
    分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；
    这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为多少？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键原式利用二次根式的性质化简即可得到结果．
【解答】
解：，
，
．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出的值、与的关系是解此题的关键．根据根号下的数要是非负数，得到，，，，推出且，得到，代入即可求出，把代入原式即可求出答案．

【解答】
解：等式在实数范围内成立，

，，，，

和可以得到，

和可以得到，

所以只能等于，代入等式得

，

所以有，

即：，

由于，，是两两不同的实数，

，．

将代入原式得：

原式．

故选B．

3.【答案】 

【解析】解：当，时，；
当时，；
当时，，
所以，与的关系不确定．故选D．
根据的取值范围，对与的大小关系分情况进行讨论即可解决．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式的非负性是解题的关键，根据，即可得出，解得
【解答】
解：，
，解得
是负数或零．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：、，，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质和二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能熟练地运用二次根式的乘除法则进行计算是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．原式变形为，由已知易得，，然后整体代入计算即可．
【解答】
解：，，
原式．
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
本题运用了乘法分配律的逆用：．
本题运用了乘法分配律的逆用这个知识点，要注意知识的灵活运用．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故选B．
本题可先将分母有理化，然后再判断、的关系．
本题考查分母有理化的知识，找出分母的有理化因式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
原式．
故选：．
由，可得，然后整体代入．
此题的关键是把原式转化为的形式，再整体代入．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键．根据同类二次根式的定义得出，求出即可．
【解答】
解：与最简二次根式是同类二次根式，，
，
解得：，
故选B．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系以及二次根式的运算，解答此题应分两种情况解答，为腰，为底，为底，为腰，然后结合三角形三边的关系解答即可．
【解答】
解：为腰，为底，
周长为：，
为底，为腰，
，
此种情况不成立．
故选C．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．

根据已知首先求出，的值，进而化简原式得出关于、的方程组，求出即可．

【解答】

解：，分别表示的整数部分和小数部分，
因为，所以，

故，．

．
．
等式两边相对照，因为结果不含，
所以
解得：．
所
故选D．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即．

首先判断出，的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．

【解答】

，且有意义，

，，

．

故答案为．

14.【答案】 

【解析】当时，

原式，

当时，原式

当时，原式

当时，原式

当时，原式，

当分别取，，，，时，所对应值的总和是

．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式的化简求值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式得出，进而得出的值．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式的应用，矩形的性质，直接利用矩形面积求法结合二次根式乘法运算法则化简求出答案．
【解答】
解：矩形中，，，
矩形的面积是：


，
故答案为．  

17.【答案】解：由题意得，，，
则，
，
点的坐标为；
设与轴交于点，

，点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，，
点、关于轴对称，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
：：；
作点关于轴的对称点，过点作轴于，连接、，

由题意得，，，
在和中，
，
≌，
，，
为等腰直角三角形，
． 

【解析】根据二次根式的性质分别求出、的值，得到点的坐标；
证明为等腰直角三角形，得到≌，得到，计算即可；
作点关于轴的对称点，过点作轴于，连接、，证明≌，根据全等三角形的性质证明．
本题考查的是二次根式的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：；
故答案为：；
．
证明：左边


，
为大于或等于的整数，
．
左边右边．
成立；
故答案为：；
等式右边等于的等式为：理由：
由题意得：
．
．
．
解得：或．
为大于或等于的整数，
．
等式右边等于的等式为：．
按以上等式规律即可得出结论；
利用配方法和二次根式的性质解答即可；
利用中的规律解答即可．
本题主要考查了二次根式的化简与计算，配方法，数字的变形规律，观察数字的变化从中发现规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；

，，




． 

【解析】先求出每一部分的值，再代入求出即可；
变形后代入，再求出即可．
本题考查了二次根式的加减，完全平方公式的应用，能运用所学的知识点进行计算是解此题的关键，难度适中．
 

20.【答案】解：，，
，同号，且均为负数，
，
，
，
原式． 

【解析】首先由，，求得，然后化简二次根式，代入即可求得答案．
此题考查了二次根式的化简．求得是解题的关键．
 

21.【答案】解：，



． 

【解析】首先化简，进一步代入求得数值即可．
此题考查二次根式的化简求值，注意先化简，再进一步代入求得数值．
 

22.【答案】解：如图所示：三边长分别为、、；

设此三角形最长边上的高为，
，
此三角形是直角三角形；
则由三角形面积可得：，
解得：．
即此三角形的面积及最长边上的高为． 

【解析】利用勾股定里得出符合题意的答案；
首先得出三角形的形状，再利用直角三角形面积得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
 

23.【答案】解：

 

【解析】利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：要使有意义，必须，
即，
所以使得该二次根式有意义的的取值范围是；

，
所以，
解得：，
这两个二次根式的积为． 

【解析】根据二次根式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可；
先求出，得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和同类二次根式的定义等知识点，能根据知识点得出不等式或方程是解此题的关键．
 

25.【答案】解：如图，过点作于，

，，
，
，
，且，
如图裁法最多能得到条长方形纸条；
，
如图裁法最多能得到条长方形纸条；
如图，

是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
同理得：，
如图裁法得到长方形纸条的总长度；
如图，

同理可知是等腰直角三角形，且，
，，，
如图裁法得到长方形纸条的总长度；
如图，

如图裁法：，
，
如图裁法：，
，
，
这两种裁法中，被镶边的正方形照片的最大面积为 

【解析】如图，过点作于，利用的长可得如图裁法最多能得到的长方形纸条的条数，利用的长可得如图裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
根据等腰直角三角形的性质分别计算如图和如图中长方形纸条的总长度；
因为四边形是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长可得如图中的的长，最后计算的长即可解答．
此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．