初中数学第23章 图形的相似综合与测试单元测试测试题

华师大版初中数学九年级上册第23章《图形的相似》单元测试卷

考试范围：第23章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若三角形三个内角的比为：：，则它的最长边与最短边的比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

2. 如图，在中，，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，，与相交于点，且，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为
   (    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，分别是，的中点．若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，若是的中位线，延长交的外角的平分线于点，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若：：，四边形和的周长之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为，“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，分别是，上的点，且若，，，则的值为______．

14. 下列命题中，正确命题的个数为______ ．
    所有的正方形都相似
    所有的菱形都相似
    边长相等的两个菱形都相似
    对角线相等的两个矩形都相似
15. 如图，在中，点，分别在边，上，若，则与四边形的面积比是______．

16. 东东家有一块等腰三角形的空地，如图，已知，分别是边，的中点，量得米，米，他想把四边形用篱笆围成一圈养鸡，则需篱笆长______米．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知，，，求证：是与的比例中项．
18. 如图，四边形与四边形相似，并且点与点、点与点、点与点、点与点对应．
    
     

填空：          

求边、的长度、．

19. 用木条制成如图的形式，、、三点钉上钉子，在和处加上粉笔，当用画图时，在处的笔同时也画出一个图形．请问：这样画出的两个图形是相似图形吗？
    
     

20. 如图，在矩形中，为的中点，于点，连接．
    求证：；
    若，求的长．

21. 如图，已知中，，，点在边上，且，求线段的长．
     

22. 如图，点，分别是的边，的中点，点是内一点，连接，，，点，分别是，的中点，顺次连接点，，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    当时，求证：四边形是矩形；
    若四边形是正方形，与之间满足的条件是：______．

23. 如图，的中线，相交于点，、分别是，的中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    请写出与的数量关系，并说明理由．

24. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    在图中画出沿轴翻折后的；
    以点为位似中心，作出按：放大后的位似图形；
    填空：点的坐标______；与的周长比是______．

25. 在平面直角坐标系中，有一点，试求满足下列条件的值．
    点在轴上；
    点在第一、三象限的角平分线上．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，设三个内角分别是，，，
则，
解得，
这个三角形的三个内角分别是，，，
它的最长边与最短边之比为：：度角所对的直角边等于斜边的一半．
故选：．
先根据三个内角的度数之比为：：利用设法求出三个内角的度数，是含的直角三角形，然后根据度角所对的直角边等于斜边的一半进行解答．
本题考查了含角的直角三角形的边的关系，求出三角形三个内角的度数是解题的关键，也是突破口．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用合比性质进行计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
又，，，
，
．
故选：．
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出的长．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

6.【答案】 

【解析】解：两个相似多边形一组对应边分别为，，
它们的相似比为：．
故选：．
直接利用相似多边形的性质化简得出答案．
此题主要考查了相似多边形的性质，正确把握相似比等于对应边的比是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的性质，属于基础题．
根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解答】
解：∽，
，又，
所以，
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：∽，，，，
，即，解得，
四边形为矩形，
，
由勾股定理得：
．
故选：．
先根据相似三角形的性质求出的长，再由勾股定理即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点．
是的中位线，
，
，
，
．
故选：．
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有，从而求出．
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
是的中位线，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，进而得到，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，
四边形∽，，
∽，
，
四边形和的周长之比为：，
故选：．
根据位似图形的概念得到，证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质、相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：

棋子“炮”的坐标为．
故选：．
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得；，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：所有的正方形都相似，正确，符合题意；
所有的菱形都相似，错误，不符合题意；
边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；
对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，
正确的有个，
故答案为：．
利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
与四边形的面积比是，
故答案为：．
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，分别是边，的中点，米，米，
，
需篱笆长为：米．
故答案为：．
先证明，从而可得答案．
本题考查的是三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”是解本题的关键．
 

17.【答案】证明：，，

，
是与的比例中项．

【解析】本题主要考查了比例中项的定义和二次根式的运算，解答此题的关键是知道比例中项的定义，解答此题分别计算和的值，然后只需得到即可．
 

18.【答案】解：；
由题意得，
解得，． 

【解析】见答案．
 

19.【答案】解：因为木条制成的图形固定，点和点的相对位置固定，

所以点处的粉笔画图时，点处的粉笔会画出形状相同的图形，这两个图形的形状相同，
因此是相似图形．

【解析】本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．在操作过程中，这两个点画出的图形的形状相同，根据定义可以判断它们是相似图形．
因为，，三点钉上钉子，则这个图形就固定下来，点和点的相对位置确定，所以用画图时，处的笔画的图与它的形状相同，是相似图形．
 

20.【答案】证明：延长，相交于点，

为的中点，
，
四边形是矩形，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
；
解：，，
∽，
，
设，则，
，，
∽，
，
，
解得负值舍去，
． 

【解析】延长，相交于点，利用平行和中点证明≌，得，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得结论；
首先由∽，得，设，则，再根据∽，得，代入计算即可．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
∽，
，
，，
，
． 

【解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，属于基础题．
由已知先证∽，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出的值．
 

22.【答案】且 

【解析】证明：、是、的中点，
且，
、是、的中点，
且，
且，
四边形是平行四边形；
证明：由知，四边形是平行四边形，
如图，连接，

、分别是、的中点，
，
，
，
，
平行四边形是矩形，
所以当时，四边形是矩形；
解：若四边形是正方形，与之间满足的条件是：且，
由可知，当时，四边形是矩形，
、、分别是、、的中点，
，，
，
，
矩形是正方形．
故答案为：且．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，从而得到且，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
利用中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．
根据可知，当时，四边形是矩形，当矩形的邻边相等时，矩形为正方形，故．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，正方形的判定，熟记定理与判定方法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：、分别是，的中点．
为的中点，
，，
、为的中线，
为的中位线，
，
，，
四边形是平行四边形；
解：．
理由如下：
四边形是平行四边形，
，
而为的中点，
，
． 

【解析】先根据三角形中位线性质得到，，，，所以，，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
利用平行四边形的性质得，再根据为的中点得到，所以．
本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质．
 

24.【答案】  ： 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；

点的坐标为，
沿轴翻折后的，
≌，
按：放大后的位似图形，
与的相似比为：，
与的相似比为：，
与的周长的比为：．
利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
延长到使，延长到使，延长到使，从而得到；
先利用轴对称的性质得到≌，再根据位似的性质得到与的相似比为：，所以与的相似比为：，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称变换．
 

25.【答案】解：由题意得：
，
，
的值为；
由题意得：
，
，
的值为． 

【解析】根据轴上的点横坐标为，可得，然后进行计算即可解答；
根据第一、三象限的角平分线上的点，横，纵坐标相等，可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．