数学华师大版第24章 解直角三角形综合与测试单元测试同步达标检测题

华师大版初中数学九年级上册第24章《解直角三角形》单元测试卷

考试范围：第24章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 一根均匀的木棒所受重力，小亮以木棒的一端为支点，竖直向上将木棒的另一端缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为，若点为的中点，，分别垂直地面于点，，则根据杠杆平衡原理得拉力的大小为(    )
    

A.  B.  C.  D.

2. 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．已知木杆长，它的影长为，测得为，则金字塔的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是一块矩形场地，宽米，长米．若在其对角线，的延长线上取点，，，，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了米，上、下各增加了米，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，则这个矩形零件的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如下图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为_______．

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，为中点，，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图所示，在菱形中，交于点，于点，连接若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，，，动点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，过点作于点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在中，是斜边，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点是线段上的一个动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，一块三角形余料，它的边，高现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为______．

14. 如图，▱中，，于点，为的中点，连结、下列结论正确的是______把所有正确结论的序号都填在横线上：
    ；
    ；
    ；
    ．
15. 如图，在菱形中，对角线交于，且对角线，，点是边的中点，则______．

16. 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为，“边长正度值”为，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，一盏路灯点距地面，身高的小明从距离路灯的底部点的处，沿所在的直线行走到点处时，小明在路灯下的影子长度缩短了，求小明行走的距离．

18. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点、共线．已知，测得，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．
     

19. 小颖、小华和小林想测量小区门口路灯的高度．如图，相邻的两盏路灯、高度相等，某天晚上，小颖站在点处，此时她身后的影子的顶部刚好接触到路灯的底部；小华站在点处，此时他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部．这时，小林测得米，已知米，小颖身高米，小华身高米，、、、均与地面垂直．请你根据以上数据计算路灯的高度．结果精确到米

20. 如图，在中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

21. 已知：如图，在中，，，点、分别是边、的中点，交的延长线于点．
    求证：四边形是菱形；
    联结，如果，求证：．

22. 计算：．
    化简求值：；其中．
23. 如图，已知矩形中，，，将沿对折到的位置，和交于点．
    求证：≌；
    求的值用含的式子表示．

24. 小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适如图侧面示意图为图；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点、、在同一直线上，，，．
    
    求的长；
    如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．结果保留根号
25. 月日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝，小江抓着风筝线的一端站在处，他从牵引端测得风筝的仰角为，同一时刻小芸在附近一座距地面米高米的居民楼顶处测得风筝的仰角是，已知小江与居民楼的距离米，牵引端距地面高度米，根据以上条件计算风筝距地面的高度结果精确到米，根据以上条件计算风筝距地面的高度结果精确到米，参考数据：，，，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
又是的中点，
是的中点，即，
根据杠杆平衡原理，可得，
，
解得，
故选：．
依据，是的中点，即可得到是的中点，再根据杠杆平衡原理，可得，进而得出拉力的大小．
本题主要考查了相似三角形的应用，以及杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查相似三角形的应用，解答时要了解：同一时刻物高和影长成正比．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】
解：，
，
又，
∽，
：：，
：：，
，
答：金字塔的高度是，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
∽，∽，
，，
，
左、右各增加了米，上、下各增加了米，米，米．
，，
，
解得：，
故选：．
根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设边宽为，则长为，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
解得：，
，，
故选：．
设宽为，则长为，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理的有关知识，易知是中位线，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线的性质可求，从而求出周长．
【解答】
解：四边形是矩形，，，
，，
点是矩形对角线的中点，点为的中点，
，，
在中，利用勾股定理求得，
在中，利用勾股定理求得，
．
周长为．  

6.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，，
在中，，
为中点，
．
故选：．
先根据菱形的性质得到，，，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可．
【解答】
解：四边形是菱形，，
为中点，，
，
．
，
在中，，
．
．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得：：，即可得：：，在中，即可求得的值，继而求得答案．
【解答】
解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
∽，
：：：，
：：，
，
在中，，
，
．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质及动点问题的函数图象，认真读懂函数图象是解题的关键，首先根据函数的图象可以看出的面积最大为，结合点的运动情况可知当点与点重合时为面积最大，所以可设为，则根据直角三角形的性质可以用含有的代数式表示和的长度，根据最大面积求出的值，再根据直角三角形的性质即可得出的长度．
【解答】
解：由函数图象可知，的最大面积是，此时点与点重合，
在中，，
设，
，
则，
，
当为最大面积时，，
解得，
，，
在中，，
，
，
．

故选C．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键 连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：设每个小正方形的边长为连结，如图，

，，，
，
是直角三角形，且，
，，
所以，
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：
，
，
，，
，
解得：负数舍去，
，
故选：．
根据求出，根据勾股定理得出，求出，再求出即可．
本题考查了解直角三角形，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
当点，点，点共线时，且时，有最小值为，
如图：

，，
，
在中，，
，
的最小值是，
故选：．
过点作，垂足为，根据菱形的性质可得，，从而可得是等边三角形，进而可求出，然后在中，可得，从而可得，当点，点，点共线时，且时，有最小值为，最后在在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了胡不归问题，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及将转化为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设正方形零件的边长为，
在正方形中，，
∽，
是高，
，即，
，
答：正方形的边长为．
故答案为：．
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即∽，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答．
本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于，取的中点，连接．

，，
，
，
，
，
，
，故选项符合题意，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，故选项符合题意，
，
，故选项符合题意，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，故选项错误不合题意，
故答案为：．
如图延长交的延长线于，取的中点连接想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出是解题的关键．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出，利用锐角三角函数的定义求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据是斜边上的中线求出．
【解答】
解：菱形的对角线、相交于点，
，，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
又点为中点，
是斜边上的中线，
．  

16.【答案】或 

【解析】解：设等腰三角形的底边长为，
，
解得，或，
当时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，
当时，这个等腰三角形底角的余弦值是：，
故答案为：或
根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．
 

17.【答案】解：设，则，
，，，
，
∽，∽，
，，
解得，
，
答：小明行走的距离是． 

【解析】设，则，根据平行线的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，，求得，于是得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
∽，
，
，
，
经检验：是分式方程的解，
答：河宽的长为米． 

【解析】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
由，可得，构建方程即可解决问题．
 

19.【答案】解：设，则，
，
∽，
，即，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
答：路灯的高度为米． 

【解析】根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

20.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
． 

【解析】证≌，得，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再证是等边三角形，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
如图，设，，则，
，

，
，
，
，
∽，
，即，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
． 

【解析】先根据三角形的中位线定理可得：，，证明四边形为平行四边形，可得，再证明，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可得结论；
如图，设，，则，证明∽，得，并结合勾股定理可得结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，第有难度，证明∽是解题的关键．
 

22.【答案】解：原式


；





，
，
，
当时，原式． 

【解析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根进行计算，再算乘法，去掉绝对值符号，再算加减即可；
先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
根据折叠的性质得：，，
，，
在与中，
，
≌；
解：设，则，
四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质得：，
，
，
在中，
，
，
，
． 

【解析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，等量代换得到，，根据证明三角形全等即可；
设，则，根据矩形的性质和折叠的性质证明，在中，根据勾股定理表示出的长，根据正切的定义即可得出答案．
本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，根据矩形的性质和折叠的性质证出是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，在中，，．
；
如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得，，
当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，看可得，
，
，
在中，，
又，
，
即：点到的距离为． 

【解析】解即可求出的长；
求出，在中求出，进而求出．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．
 

25.【答案】解：如图，作于，作于，于．

，，
，设，则，，，
在中，，
，
解得．
．
风筝距地面的高度． 

【解析】如图，作于，作于，于，设，则，，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用此时构建方程解决问题．