华师大版第22章 一元二次方程综合与测试单元测试练习题

华师大版初中数学九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试卷

考试范围：第22章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列方程是关于的一元二次方程的个数是：(    )

；；；

A.  B.  C.  D.

4. 已知是方程的根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列方程一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一同学将方程化成了的形式，则、的值应为  (    )

A.  ， B.  ，
C.  ， D.  ，

7. 是下列哪个一元二次方程的根(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知一元二次方程和它的两个实数根为、，下列说法：
   若、异号，则方程一定有实数根
   若，则方程一定有两异实根
   若，则方程一定有两实数根
   若，，，由根与系数的关系可得，
   其中正确的结论的个数为(    )

A.  个 B.  个 C.  个 D.  个

9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不存在

10. 对于一元二次方程，下列说法：

若，则；

若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

若是方程的一个根，则一定有成立；

若是一元二次方程的根，则．

其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C.  D.

12. 已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则，
D. 若，则，

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______
14. 一元二次方程的一个根为，则 ______ ．
15. 已知方程其中为非负整数至少有一个整数根．那么______．
16. 若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 已知关于的方程为实数，．
    求证：此方程总有两个实数根；
    如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数的值．
18. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
    如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
    如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
    如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
    若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
20. 若关于的一元二次方程的一个根是，求的值与方程的另一个根．
21. 已知，下列为正整数个关于的一元二次方程：
    ，，，，，，
    上述一元二次方程的解为______，______，______，______．
    猜想：第个方程为______，其解为______．
    请你指出这个方程的根有什么共同的特点写出一条即可．
22. 已知关于的一元二次方程．
    判断这个一元二次方程的根的情况；
    若等腰三角形的一边长为，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．
23. 阅读下列材料：
    利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
    运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
    例如：
    
    
    
    根据以上材料，解答下列问题：
    用多项式的配方法将化成的形式分解因式．
    求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
24. 定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．

求抛物线的雅礼弦长

求抛物线的雅礼弦长的取值范围

设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．

25. 已知关于的一元二次方程．
    当时，判断方程根的情况；
    当时，求出方程的根．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、时是一元一次方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该方程属于分式方程，故本选项错误；
B、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、由已知方程得到：，属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 一元二次方程必须满足三个条件： 未知数的最高次数是； 二次项系数不为； 是整式方程．
【解答】
解：关于的方程中：，不一定是；，是；，是；，不是，不是，是．
则一元二次方程的个数是．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的概念和求代数式的值，先根据一元二次方程根的概念得出，再根据所求代数式的值，可把变形为，，再代入进行计算，化简可得，再把，方程两边同时除以，就可得出的值，从而得出答案．
【解答】
解：是方程的根，
，
，，



，
，且，
，
，
．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的概念，解题关键是掌握一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足的四个条件：含有一个未知数；未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；解题时根据这四个条件对四个选项进行逐一判断即可得出答案．
【解答】
解：方程二次项系数可能为，故此选项不符合题意；
B.化简后是符合一元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
C.符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
D.不是整式方程，故此选项不符合题意．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可先把展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可，．
【解】：
可化为：，
，解得：．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：中，，不合题意；
B.中，，不合题意；
C.中，，不合题意；
D.中，，符合题意；
故选D．
用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值若，方程无实数根；在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根．
本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
当、异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以正确；
若时，所以，所以此时方程一定有实数根，但不能确定，所以方程不一定有两异实根，所以错误；
若时，，则方程一定有两实数根，所以正确；
若，，，，所以方程没有实数根，所以错误．
故选：．
当、异号时，，则根据判别式的意义可对进行判断；当时，，可判断方程一定有实数根，但不能确定，根据根与系数的关系不能判断方程一定有两异实根，于是可对进行判断；当时，则，则根据判别式的意义可对进行判断；若，，，计算出，则可对进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出

，

，结合

，即可求出的值．
【解答】

解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，

，
解得，．
该方程有两个不相等的实数根，

，
解得，
．
故选A．

10.【答案】 

【解析】解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故正确；
方程有两个不相等的实根，


则方程的判别式

方程必有两个不相等的实根，故正确；
是方程的一个根，
则

若，等式仍然成立
但不一定成立，故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：
或
或

故正确．
故选：．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当，即时，原方程为，
解得：，
符合题意；
当，即时，，
解得：且．
综上所述：．
故选：．
分二次项系数为零及非零两种情况考虑：当，即时，通过解一元一次方程可求出方程的解，进而可得出符合题意；当，即时，由根的判别式，可得关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．综上可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及非零两种情况求出的取值范围是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程，解答本题的关键是掌握利用一元二次方程根与系数的关系解决交点坐标问题的思路与方法；首先根据两个函数的解析式得到关于的方程，将方程整理成一般式后，再利用一元二次方程根与系数的关系求出的值，即可求解．
【解答】
解：二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，
，是方程的两根，
将方程整理，得，
，
当、同号时，，，
A.若，，则，，，故选项A正确；
B.若，，则，，，故选项B错误；
C.若，则，得出，此时、同号，、可能同为正数，也可能同为负数，故选项C错误；
D.若，则，得出，此时、异号，可能为正数，为负数，也可能为负数，为正数，故选项D错误．
故选：．  

13.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根由二次项系数不为，且根的判别式大于等于，求出的范围即可．
【解答】
解：关于的方程有两个实数根，
，且，
即，且，
解得，且．
故的取值范围是且．
故答案为且．  

14.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一个根为，
且，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
 

15.【答案】，或 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及方程根的求法．
利用根的判别式得出关于的式子，然后求出两根，利用倍数与约数求出的值．
【解答】
解：显然故原方程为关于的二次方程．
，

是完全平方式．
故
即，．
当是整数时，，；
当是整数时，，．
综上所述，，或．  

16.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查的是绝对值非负性，二次根号下非负以及一元二次方程的根的判别式等有关知识．在解答此题时，注意关于的一元二次方程的二次项系数不为零．
首先根据题意先求出，的值，然后再利用根的判别式进行解答即可．
【解答】
解： ，
，，
原方程为．
该方程有实数根，
，
又，
且  

17.【答案】证明：，
，
，
，
此方程总有两个不相等的实数根；
解：由求根公式，得，
，，
此方程的两个实数根都为正整数，
整数的值为或． 

【解析】本题主要考查了一元二次方程的概念和一元二次方程根的判别式的知识点，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型

根据判别式即可求出答案；
由求根公式即可求出的值．

18.【答案】解：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
根据题意得，即，所以为直角三角形；
为等边三角形，
，
方程化为，解得，． 

【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；
根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

19.【答案】证明：
一元二次方程，
，
无论取何实数值，方程总有实数根；
解：
为等腰三角形，
有、或三种情况，
当或时，可知为方程的一个根，
，解得或，
当时，方程为，解得或，
三角形的三边长为、、，
当时，方程为，解得或，
三角形的三边长为、、，
当时，则方程有两个相等的实数根，
，即，解得，
方程为，解得，
此时三角形三边为、、，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为、、或、、． 

【解析】计算方程的判别式大于等于即可；
由等腰三角形的性质有、或三种情况，当或时，可知为方程的一个根，代入可求得的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于可求得，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长．
本题主要考查方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握根的判别式与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：将代入原方程中可得：，
解得：，
方程的另一个根为．
答：的值为，方程的另一个根为． 

【解析】将代入原方程即可求出值，由两根之积等于即可求出方程的另一个根．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
 

21.【答案】，  ，  ，  ，    ， 

【解析】解：，
，．
，
，．
，
，．
，
，．

由找出规律，可写出第个方程为：
，
，
解得，．

这个方程都有一个根是； 另一个根是的相反数； ； ；都有两个不相等的实数根； 两个根异号．
故答案是：，，，，．
；，．
这个方程都有一个根是； 另一个根是的相反数； ； ；都有两个不相等的实数根； 两个根异号．
用十字相乘法因式分解可以求出它们的根．
由找出规律，写出方程，解方程求出方程的根．
根据、可以写出它们的共同特点．
本题考查的是用因式分解法解方程，用十字相乘法因式分解求出方程的根，然后找出规律，写出第个方程，求出第个方程的根，并写出它们的共同特点．
 

22.【答案】解：，
该方程有两个实数根；
当为底边长时，，
，
此时原方程为，
解得：．
、、能组成三角形，
三角形的周长为，三角形的面积为；
当为腰长时，将代入原方程，得：，
解得：，
此时原方程为，
解得：，．
、、能组成三角形，
三角形的周长为，三角形的面积为．
综上所述：等腰三角形的周长为，面积为或周长为，面积为． 

【解析】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；分为底边长及腰长两种情况考虑．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出该方程有两个实数根；
分为底边长及腰长两种情况考虑：当为底边长时，由可求出值，将其代入原方程可求出三角形的腰长，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积；当为腰长时，将代入原方程可求出值，代入值可求出等腰三角形的底边长度，再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积．综上即可得出结论．
 

23.【答案】解：



；
证明：

，
故，取任何实数时，多项式的值总为正数． 

【解析】根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
根据配方法把变形成，再根据平方的非负性，可得答案．
本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：配方是解题关键．
 

24.【答案】解：，
，
，，
雅礼弦长．
，，
因为，
，
，
当时，最小值为，
当时，最大值小于，
．
由题意，令，，
，，
则， 
同理，
，
，
要不论为何值，恒成立，
即：恒成立，
由题意得：，，
解得：，，
、为正整数，且，
，或，． 

【解析】本题属于新定义型，主要考查二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程的判别式是解答本题的关键．
令，解方程求出、的坐标，即可求出的长；
根据与一元二次方程要与系数的关系，用含的式子表示，再结合求得的取值范围；
先根据一元二次方程要根与系数的关系求出与，即可得出与的函数关系式为二次函数，由与恒成立可知，该函数关系式的，由此列出不等式求解．
 

25.【答案】解：当时，方程为，
，
此方程没有实数根；
当时，方程为，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
故方程的根为，． 

【解析】把代入方程，根据根的判别式判断方程根的情况；
把代入方程，解方程即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．