2021-2022学年四川省内江市第六中学高二下学期第2次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省内江市第六中学高二下学期第2次月考数学（理）试题

一、单选题

1．在建立两个变量与的回归模型中，选择了4个不同的模型，模型1的相关系数为0.88，模型2的相关系数为0.66，模型3的相关系数为0.945，模型4的相关系数为0.51，其中拟合效果最好的模型是（       ）

A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4

【答案】C

【分析】根据回归模型分析，相关系数越大，回归模型的拟合效果越好，判断即可

【详解】在4个不同的回归模型中，模型3的相关系数 为最大，所以拟合效果最好

故选：C

2．方程表示的是（       ）

A．两条直线 B．一条直线和一条双曲线 C．两个点 D．圆

【答案】C

【解析】利用两个非负数之和为零则两个数均为零，构建方程，解方程组即得结论.

【详解】方程，即，解得或，

故方程表示两个点.

故选：C.

3．“”是“2，，8成等比数列”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用等比数列求出m，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】2，，8成等比数列，等价于，

所以“”是“2，，8成等比数列”的充分不必要条件.

故选：A

4．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的焦点坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得双曲线的渐近线方程为 ，根据一条渐近线与直线垂直，求得，继而求得，可得答案.

【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为 ，

因为双曲线的其中一条渐近线与直线垂直，故 ，

而 ，故 ，故双曲线的焦点坐标为，

故选：B

5．已知，且，则实数a的值为(      )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求f(x)的导数，令x＝－1即可求出a．

【详解】∵，

∴，

，

，

．

故选：D．

6．的展开式中的系数为（       ）

A．4590 B．1350 C．540 D．270

【答案】D

【分析】由题知，然后利用展开式的通项公式即得.

【详解】由题意可得，

而展开式的通项，

故展开式中的系数为.

故选：D．

7．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（       ）

A． B． C．- D．

【答案】D

【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．

【详解】直三棱柱中，，，为的中点．

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，2，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

设异面直线与所成角为，

则．

异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：)服从正态分布，则果实横径在的概率为（       ）

附：若，则；.

A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545

【答案】C

【解析】由题得，以及和，利用对称性可得答案．

【详解】由题得，，

所以，，

所以，所以，

所以果实横径在的概率为.

故选：C.

9．九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高.九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位.某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置.则不同的雕刻模型有多少种（       ）

A． B．2 C． D．•

【答案】D

【分析】四条升腾之龙的相对位置全排列，四条沉降之龙的相对位置全排列，再应用分步乘法原理可得．

【详解】解：由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有调换方法，四条沉降之龙的相对位置有调换方法，

∴不同的雕刻模型共有•种，

故选：D.

10．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的值是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别设切点，利用切线斜率相等得,则切线方程为，

，可得，计算可得解.

【详解】已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，

设切点分别为 ，

令f（x）=， 则 ，令g（x）=，则

可知 ，即，

过切点表示切线方程： 整理得 ，

过切点表示切线方程：

整理得

故 ，解得

故

故选A.

【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了学生对导数意义的理解，还考查了直线方程的求法；曲线的切点，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率.

11．已知动点到点比到直线的距离大，动点的轨迹为曲线，点，是曲线上两点，若，则的最大值为（       ）

A．10 B．14 C．12 D．16

【答案】C

【分析】先设点，根据题意得，化简整理得曲线：，再根据抛物线定义得，又，即可求解.

【详解】设点，所以，点到的距离为，

所以，解得，即曲线：，

根据抛物线的定义得，，又，所以，

因为，当且仅当，，三点共线时等号成立，

即，所以的最大值为.

故选：C.

12．已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本道题计算导函数，结合存在两个不同的极值点，计算a的范围，构造新函数，计算最值，得到的范围，即可．

【详解】计算导数得到，结合构造新函数得到

要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而

，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A．

【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难．

二、填空题

13．命题“若，则”的逆否命题为__________．

【答案】若，则

【解析】根据逆否命题的定义即可得结果.

【详解】依题意，原命题的逆否命题为“若，则”．

故答案为：若，则

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______．

①；②是偶函数；③在上单调递增．

【答案】（满足条件即可）

【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》

【详解】解：如，

，，故，

是偶函数，

又在上单调递增，

故答案为：（满足条件即可）

15．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为则随机变量的数学期望为______.

【答案】0.6

【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可.

【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为，即概率为，

抽到“老年人”的人数为服从二项分布，即,

所以期望为，

故答案为：0.6.

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.

16．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．

【详解】解：设抛物线的方程：，焦点为F，则，则，

∴抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，

圆的圆心为，半径为1，

由直线PQ过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l的方程为：，

设P､Q坐标分别为和，

由联立，得，恒成立，

由韦达定理得：，，

∴，，

∴，

则

.

当且仅当时等号成立，

故答案为：

三、解答题

17．已知集合：①；②；③，集合（m为常数），从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：

(1)定义，当时，求；

(2)设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）求出集合的范围，取交集即可

（2）求出集合的范围，根据p是q成立的必要不充分条件，得到，从而求出参数的取值范围

【详解】(1)选①：

，若，即时，即，解得，

若，则，无解，所以的解集为，

故，由，可得，即，解得，故，则．

选②：

，解得，故，

，，即，解得，故，

则．

选③：

，，解得，故，

，，即，解得，故，

则．

(2)由，即，

解得，

因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以

或，解得，故m的取值范围为．

18．已知函数．

(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；

(2)求函数f（x）的单调区间与极值；

【答案】(1)1

(2)的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.

【分析】（1）求导，求出即为切线斜率；（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值.

【详解】(1)因为，所以，因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；

(2)令，解得：x = 0或2．

所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数．

因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）=；

综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，极小值为0，极大值为.

19．为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.

(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?

(2)从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望.

附:K2=(n=a+b+c+d)，

【答案】(1)表格见解析，能

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据茎叶图中的数据，统计出甲、乙两班“成绩优良”及“成绩不优良”的人数，填入列联表，计算的观测值，与3.841进行比较即可得出结论.

（2）根据茎叶图得出的所有可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求数学期望.

【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：

根据列联表中的数据，得的观测值为，

所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人，

所以的所有可能取值为，

则=，， =，

则随机变量的分布列为：

则数学期望.

20．如图，且，，且，且，平面ABCD，.

(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；

(2)求二面角的正弦值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用空间向量证明线面平行，即证；

（2）利用空间向量求二面角，，再求．

【详解】(1)因为，，平面ABCD，

而AD､平面ABCD，所以，，

因此以D为坐标原点，分别以､､的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

因为且，且，，

所以，，，，，，，，.

设为平面CDE的法向量，，，

则，不妨令，可得；

又，所以.

又∵直线平面CDE，∴平面CDE；

(2)依题意，可得，，.

设为平面BCE的法向量，

则，不妨令，可得.

设为平面BCF的法向量，

则，不妨令，可得.

若二面角的大小为，则，

因此.

∴二面角的正弦值为

21．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在上恒成立，求整数的最大值．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，分析导数在上的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）由参变量分离法得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值，进而可得出整数的最大值.

【详解】函数的定义域为.

（1）因为，所以．

当时，对恒成立；

当时，由得，得．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）由得，所以，

即对恒成立．

令，则，

令，则，因为，所以，

所以在上单调递增，

因为，，所以存在满足.

当时，，；当时，，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

因为，，所以的最大值为．

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22．已知椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，且与x轴垂直.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点，且斜率为直线与椭圆（从左至右）依次相交于A，B两点；过点T且斜率为的直线与椭圆（从左至右）依次相交于C，D两点.若，过T作直线CB的垂线，垂足为Q，求Q的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义求解，再求方程即可；

（2）设，因为，故，再设直线方程，联立椭圆得韦达定理，根据三点共线证明直线恒过定点，从而得到的轨迹为圆除去两点即可

【详解】(1)由题意得，，，

则，即，

∴，故E的方程为；

(2)设，因为，故，设，则直线的方程为，联立可得，故，设直线交轴于，则因为三点共线，故，即，所以，代入韦达定理可得，解得，故直线恒过定点，则Q的轨迹为以ST为直径的圆上.则存在定点，为定值.轨迹方程为.