2021-2022学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知复数是虚数单位，则所对应的点所在象限为(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限已知，若，则(    )A.  B.  C.  D. 为庆祝中国共青团成立周年，某校计划举行庆祝活动，共有个节目，要求节目不排在第一个，则节目安排的方法数为(    )A.  B.  C.  D. 边长为的等边三角形中，若，则(    )A.  B.  C.  D. 某市为了研究该市空气中的浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的浓度和浓度单位：，得到如下所示的列联表： 其中，，经计算．
则下列结论错误的是(    )A. 该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是
B. 若列联表中的天数都扩大到原来的倍，的观测值不会发生变化
C. 有超过的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关
D. 在犯错的概率不超过的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度有关直线与曲线相切，且与圆相切，则(    )A.  B.  C.  D. 已知函数为上的奇函数，为偶函数，则下列说法错误的是(    )A. 的图象关于直线对称
B.
C. 的最小正周期为
D. 对任意的都有 二、多选题（本大题共4小题，共20分）下列说法正确的是(    )A. 经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
B. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C. 经验回归方程对应的经验回归直线恒过样本点的中心，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
D. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好以下四个结论正确的是(    )A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的充要条件是
C. ，
D. 一组数据的方差越大，则这组数据的波动越大已知数列中，，则下列说法正确的是(    )A.  B. 是等比数列
C.  D. 在棱长为的正方体中，点满足，，，则(    )A. 当时，
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 当时，存在唯一的点，使得点到的距离等于到的距离 三、填空题（本大题共4小题，共20分）若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是______．已知，则______．函数在区间上的最大值是______，最小值是______．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲．乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为，并且每人是否猜对相互独立，在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）已知等差数列满足．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．已知四边形中，与交于点，．
若，，求；
若，，求的面积．如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，C.
证明：；
若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即．
试求考试成绩位于区间的概率；
若这次考试共有名学生，试估计考试成绩在的人数；
若从参加考试的学生中参与考试的人数超过人随机抽取名学生进行座谈，设选出的人中考试成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值．
参考数据：若随机变量，则，，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点．证明：为定值．已知函数为的导函数．
讨论单调性；
设，是的两个极值点，证明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，，
所对应的点所在象限为第一象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：因为，，则，
，
故选：．
先求出，再将用两角和与差的余弦公式展开求解即可．
本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，难度不大，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，节目不排在第一个，则节目有种安排方法，
剩下的三个节目任意安排，有种安排方法，
则有种安排方法，
故选：．
根据题意，先分析节目的安排方法，再将剩下的三个节目任意安排，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由题意，则，
故，
故选：．
根据平面向量的线性运算与数量积公式求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的计算，数量积的运算法则等知识，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：对于，该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是，故A正确，
对于，若列联表中的天数都扩大到原来的倍，，
的观测值变为原来的倍，故B错误，
因为，即有超过的把握认为该市一
天空气中浓度与浓度有关或在犯错的概率不超过的条件下，认为该市一
天空气中浓度与浓度有关，故CD正确．
故选：．
利用计算即可得出答案．
本题主要考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：设直线在曲线上的切点为，则，解得，
故切点坐标为，将代入直线中，解得，
所以直线方程为，即，
又与圆相切，
则．
故选：．
先由直线与曲线相切求出，再由直线与圆相切即可求出．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，、D正确；
由分析知：，故，
所以，
所以的周期为，则，B正确；
的周期为，但不能说明最小正周期为，C错误；
故选：．
由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误．
本题主要考查函数奇偶性和周期性的判断，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：对于，经验回归方程对应的经验回归直线不一定经过其样本数据点中的一个点，故A错误，
对于，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明预测值与实际值越接近，即模型的拟合效果越好，故B正确，
对于，回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不看经验回归直线上的样本点多，故C错误，
对于，在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，
则说明回归模型拟合的越好，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及残差和决定系数的定义，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差和决定系数的定义，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于：因为命题“，”是一个全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以该命题的否定是“，“，故A正确；
对于：因为当时，没有意义，
所以推不出，
所以不是的充分条件，
所以的充要条件不是，故B不正确；
对于：当时，，，此时不成立，故C不正确；
对于：方差反映了一组数据的波动性，方差越大，这组数据的波动越大，故D正确，
故选：．
对于：因为命题“，”是一个全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断是否正确；
对于：因为当时，没有意义，则不是的充分条件，即可判断是否正确；
对于：当时，不成立，即可判断是否正确；
对于：方差反映了一组数据的波动性，方差越大，这组数据的波动越大，即可判断是否正确．
本题考查命题真假的判断，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列项，考查了等比数列的判断，考查了一定的逻辑能力，属于中档题．
结合已知递推关系可直接检验；
结合已知递推关系，然后利用等比数列的定义可检验选项B；
结合选项B可求，进而可检验选项C，．【解答】解：依题意，
所以，则，，，
所以数列的奇数项和偶数项，分别是以为公比的等比数列．．
所以，、B正确．
，C正确．
，D错误．
故选：．  12.【答案】 【解析】解：当时，的轨迹为线段，连接，，则，

又平面，，，
平面，，
同理可得，，
故AC平面，平面，所以，故A正确；

当时，点的轨迹为线段为，的中点，直线平面，
故三棱锥的体积为定值，故B正确；
当时，点轨迹为线段，
将三角形旋转至平面内，可知，
由余弦定理可得，故C错误；

当时，点轨迹为以为为圆心，为半径的四分之一圆弧，
由点到的距离等于到的距离，即点到点的距离等于到的距离，
则点轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线上，

故存在唯一的点，使得点到的距离等于到的距离，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，则可以设其方程为，
又由其经过点，则有，
解得，
则其方程为：，
其标准方程为：．
由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，双曲线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为，
所以二项式的展开式中含项为，
所以，
故答案为：．
因为，然后根据二项式定理求出展开式中含项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】  【解析】解：因为，，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，所以；
故答案为：；．
求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最值．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：记事件：甲、乙、丙三名同学中至少有两人猜对，事件甲猜对，
则，，
所以，．
故答案为：．
记事件：甲、乙、丙三名同学中至少有两人猜对，事件：甲猜对，计算出、，利用条件概率公式可求得所求事件的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 17.【答案】解：当时，，
当时，，
得，，解得，
所以，，
所以；
由得，
则，
，
，
，
． 【解析】利用赋值法可得数列的首项及公差，代入等差数列通项公式即可计算；
利用错位相减法求数列的前项和．
本题考查了等差数列通项公式以及错位相减求和的计算，属于基础题．
 18.【答案】解：在中，，，，
可得，
即有，
可得；
在中，，，，
设，，，
由余弦定理可得，
解得，，，
所以的面积为． 【解析】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
在中，运用正弦定理求得，再由同角的平方关系可得所求值；
设，，，分别在和中，运用余弦定理可得，，，再由三角形的面积公式，可得所求值．
 19.【答案】证明：因为平面，平面，所以；
因为，所以；
因为，，平面，所以平面；
因为平面，所以D.
解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．
则，
设，
因为若到直线的距离为，
即，解得．
故，
设平面的法向量为，则，
所以，不妨取．
设平面的法向量为，则，
所以，不妨取．
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
 【解析】证明异面直线垂直，通常先证明线面垂直．所以先证明与平面垂直，即可得到异面直线与垂直．
以为原点建立空间直角坐标系，根据到直线的距离求出边长，从而得出各点的坐标，然后求出平面和平面的法向量，即可得到夹角的余弦值．
本题考查二面角，考查学生的运算能力，属于中档题．
 20.【答案】解：因为，故均值为，标准差为，故，
．
故考试成绩在的人数约为人．
因为，结合题设条件可得，
故，，
，，
故随机变量的分布列如下： 故E． 【解析】利用题设中给出的参考数据可得所求的概率．
可求，从而可求相应区间上的人数．
利用二项分布可求分布列，利用公式可求期望．
本题考查正态分布曲线的的对称性，以及离散型随机变量的分布列及期望，属于中档题．
 21.【答案】解：由面积的最大值为可得，即，
则，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
证明：由题意和可得，，
因为，可设，
则，直线的方程为，
联立，整理可得：，
显然成立，
，而，可得，，
即，
所以为定值． 【解析】由离心率和三角形的最大面积及，，之间的关系可得，的值，进而求出椭圆的方程；
由题意可得，的坐标，由题意设的坐标，求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之积，可得的横坐标，代入直线的方程可得的坐标，求出数量积，可证得为定值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，数量积的求法，属于中档题．
 22.【答案】解：，定义域是，
，
，
，
时，，，
在单调递增，
时，令，解得，
令，解得，
故在递增，在递减，
综上，时，在单调递增，
时，在递增，在递减；
，是的两个极值点，
，是的两根，且，
，，
，
，要证，只需证明，
即证明，
即证明，
即证明，
即证明，
不妨设，
则，
令，则，
令，
则，
在递增，
，
原结论成立． 【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
求出，问题转化为，设，问题转化为，令，则，令，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．