2021-2022学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科） 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共12小题，共60分）某人在打靶中，连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是(    )A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 至少有一次中靶 D. 只有一次中靶已知复数，则为(    )A.  B.  C.  D. 如图是某公司名员工的月收入的频率分布直方图，则该公司月收入在元以上的人数是(    )
A.  B.  C.  D. 已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的(    )A.
B.
C.
D. 在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为(    )A.  B.  C.  D. 对具有线性相关关系的变量，，测得一组数据如下表根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程为，据此模型来预测当时，的估计值为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数，则函数在的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 随机变量的取值范围为，，，若，则(    )A.  B.  C.  D. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

与所成角为
与为异面直线

以上四个命题中，正确命题的序号是(    )
A.  B.  C.  D. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 甲、乙、丙、丁、戊、己共人随机地排成一行，则甲、乙不相邻，丁、戊相邻的概率为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数有两个零点，，且，则下列说法不正确的是(    )A.  B.
C.  D. 有极小值点 二、填空题（本大题共4小题，共20分）的展开式中的系数是______用数字作答是复平面内的平行四边形，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为______．成都天府广场设置了一些石発供大家休息，这些石発是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”图，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．图是一个棱长为的正方体截得的半正多面体，则该半正多面体共有______个面，其体积为______．
已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知函数．
求在点处的切线方程；
求在区间上的单减区间．共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型：分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：日期天用户人模型的残差值模型的残差值残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型，的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；
求出中所选模型的回归方程．
参考公式：，参考数据：，已知是的一个极值点．
求的值；
设函数，若函数在区间内单调递减，求的取值范围．年，乐山市家级旅游景区累计接待游客万人次，同比年增长，其中多数人为自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在“五一”旅游期间，随机抽取了名游客，得如下所示的列联表： 自助游非自助游合计男性 女性  合计  请将上面的列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为“自助游”与性别有关系？
若以抽取样本的频率为概率，从“五一”游客中随机抽取人，求抽取人中恰有人选择“自助游”的概率．
附：，其中．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，平面平面．
判断与的位置关系并给予证明；
求平面与平面所成二面角的余弦值．
已知函数．
设，试讨论的单调性；
斜率为的直线与曲线交于，两点，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据对立事件的定义可得
事件“两次都不中靶”的对立事件为“至少有一次中靶”
故选：．
根据对立事件的定义，两个事件不可能同时发生且必须有一件发生，我们根据事件“两次都不中靶”的易求出其对立事件．
本题考查的知识点是对立事件，熟练掌握对立事件的定义是解答本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由图可知，收入在元以上的有：
人．
故选：．
利用直方图的定义、性质计算即可．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查函数的图象的应用，利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．
【解答】
解：由题意可知函数在，时，导函数，函数是减函数，
时，导函数，函数是增函数，
函数的图象如图．
故选：．  5.【答案】 【解析】解：在单调递增；在单调递减．
又，，
则由，可得．
则在区间上随机取一个数，
事件“”发生的概率为．
故选：．
利用几何概型去求在区间上随机取一个数，事件“”发生的概率．
本题主要考查几何概型，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由表中数据可得，，，
最小二乘法得到回归直线方程为，
，解得，
故回归直线方程为，
当时，．
故选：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将代入，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：，，则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则在时取得最小值．
故选：．
利用导函数求得函数在上的单调区间，进而求得函数在的最小值．
本题考查了利用导数求函数的最值问题，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：设，，
，
又，
由得，，，
，
故选：．
设，，则由，，列出方程组，求出，，由此能求出．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
 9.【答案】 【解析】解：先将正方体复原，连接，，，如图，

对于，由题意得，，
则四边形为平行四边形，则，
又，则，故错误；
对于，由知或其补角为与所成角，
又为等边三角形，则，即与所成角为，故正确；
对于，由题意得，，
则四边形为平行四边形，则，故错误；
对于，由题意得，又，则，故正确．
故选：．
先复原正方体，再由异面直线的定义及线线平行及垂直依次判断四个命题即可求解．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，属于中档题．
求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】
解：的定义域是，
，
若函数有两个不同的极值点，
则在有个不同的实数根，
对称轴为直线，在轴右侧，
故
解得，
故选D．  11.【答案】 【解析】解：依题意甲、乙、丙、丁、戊、己共人随机地排成一行有种排法，
其中满足甲、乙不相邻，丁、戊相邻的有种排法，
所以甲、乙不相邻，丁、戊相邻的概率；
故选：．
首先求出基本事件总数，再利用捆绑法、插空法求出满足甲、乙不相邻，丁、戊相邻的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得；
本题主要考查古典概型，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：由题意，函数，则，
当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，
令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点，且，
对，则，且，所以，解得，所以项正确；
对，，且，，故，，所以，所以B正确；
对，由，则，但不能确定，所以不正确；
对，由函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，且，所以D正确；
故选：．
求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中的系数是，
故答案为．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：，，三点对应的复数分别是，，，
则复平面内，，三点对应点的坐标为，，，
设复平面内点坐标为，
则，，
又是复平面内的平行四边形，
则，则，解得，则，
则点对应的复数为．
故答案为：．
设复平面内点坐标为，利用向量相等列出关于、方程，解之即可求得点坐标，进而求得点对应的复数．
本题主要考查复数的几何意义，以及向量相等的性质，属于基础题．
 15.【答案】  【解析】解：石発是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的“半正多面体”，
则该半正多面体共有个面；
该半正多面体的体积为．
故答案为：；．
利用石発的结构特征即可求得该半正多面体的表面个数；利用正方体体积减去个小三棱锥的体积即可求得该半正多面体的体积．
本题考查了半正多面体的体积计算，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：设，
是定义域为的偶函数，是奇函数，且，
当时，，时，，是增函数，
又是奇函数，当时，也是增函数，
，是偶函数，，即，
作出函数的大致图象：

由图可知，要使得，即当时，，可得；
当时，，可得．
使得成立的的取值范围是．
故答案为：．
由已知构造函数，运用导数求出单调性，再根据条件即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化、数形结合思想，构造函数是关键，是中档题．
 17.【答案】解：由，得，
则，又，
故切线为，
即；
令，得，
由，解得，
则在上单调递减，
故在区间上的单减区间为． 【解析】先求导，然后求出，，再求切线方程即可；
由，解得，然后求出减区间即可．
本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数求函数的单调区间，属基础题．
 18.【答案】解：应该选择模型，
模型的残差值的绝对值之和为，
模型的残差值的绝对值之和为，
因为，
又残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，
所以模型的拟合效果较好，应该选模型；
由题可知：，，
又，，
所以，
则，
故关于的回归方程为． 【解析】结合图表信息，求出残差值的绝对值之和，然后比较大小即可；
由图表信息，结合参考公式，求出线性回归方程即可．
本题考查了残差的运算，重点考查了线性回归方程的求法，属基础题．
 19.【答案】解：由，定义域为．
则，
因为是的一个极值点，
所以，解得，
经检验，适合题意，所以；
由得，
则．
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，，
因为，
又函数在上为增函数，
即，
即，
所以的取值范围是． 【解析】先求导，由是的一个极值点，则，解得的值，然后检验即可；
函数在上单调递减，等价于在上恒成立，即，，然后求解即可．
本题考查了导数的应用，重点考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属基础题．
 20.【答案】解：依题意可得列联表如下所示：  自助游非自助游合计男性女性合计，
没有的把握认为自助游与性别有关系．
记人中选择“自助游”的人数为，则的所有可能取值为：，，，，
依题意，且，
有人选择自助游的概率为． 【解析】根据题干所给数据得到列联表，计算出卡方，即可判断；
记人中选择“自助游”的人数为，依题意可得，根据二项分布的概率公式求出，即可得解．
本题主要考查独立性检验公式，以及二项分布的概率公式，属于基础题．
 21.【答案】证明：；
底面为正方形，，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
；
解：取的中点，的中点，连接、，
依题意，侧面底面，侧面底面，侧面，所以底面，
又是正方形，所以，
建立如图所示空间直角坐标系：则，，
设平面的法向量为，，，
所以，令，故，，
所以，
侧面底面，侧面底面，，平面，
平面，平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，
所以，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为． 【解析】依题意可得，即可得到平面，根据线面平行的性质定理得到；
取的中点，的中点，连接、，根据面面垂直的性质定理得到底面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查了线线平行的证明和二面角的计算，属于中档题．
 22.【答案】解：，，
则，，
当时，恒有，在上是增函数，
当时，由，解得，由，解得，
可得在上单调递增，在上单调递减，
综上可知，当时，在上是增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：由知，，
要证，只需证，即证，
令，则，问题转化为证，即证，
令，则，在上单调递增，
，即；
令，得，则在上单调递增，
当时，，即，
综上所述，当时，成立，
故． 【解析】求出的导函数及函数的导数，按分类讨论求解的单调性；
由求出斜率，再等价变形所证不等式，构造函数，借助导数可得函数单调性，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式证明，考查化归与转化思想，构造新函数是关键，属难题．