初中数学北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式授课ppt课件

这是一份初中数学北师大版九年级下册3 确定二次函数的表达式授课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了待定系数法，4a+c，－3a+c，c－5，a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝－5，b＝3，a＝2，归纳总结等内容，欢迎下载使用。

二次函数解析式有哪几种表达方式？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
如何求二次函数的解析式？
已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式.
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）
1.会用待定系数法确定二次函数的解析式.2.会求简单的实际问题中的二次函数解析式.
特殊条件的二次函数的表达式
　　已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和 (－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（－2,8）和（－1,5），
解得a=－1,b=－6.
∴ y=－x2－6x.
例1.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
知识点一：一般式法求二次函数的表达式
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
例2.选取点（-3，0），（-1，0），（0，-3），求这个二次函数的表达式．
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写表达式）
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
已知二次函数y＝ax2＋bx+c的图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式．
解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2-3x - 5.
∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
例1.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
知识点二：顶点法求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
∴所求的二次函数的表达式是
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
例3.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
知识点三：交点法求二次函数的表达式
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，a+b+c=4，4a+2b+c=7，
因此，所求二次函数的解析式是：
a=2, b=-3, c=5.
y=2x2-3x+5.
1.已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.
2.已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.
设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3,
由点( 0,-5 )在抛物线上得：
a-3=-5, 得a=-2，
故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3.
3.当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.
解析：方法一：由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），设函数解析式为y=a(x-1)2+4，因为当x=-2时，y=0，所以0=a(-2-1)2+4，所以 ，所以函数解析式为y= (x-1)2+4，即
【例3】当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.
解析：方法二：由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），设函数解析式为y=a（x+2)(x-4)，因为当x=1时，y=4，所以4=a(1+2)(1-4)，所以 ，所以函数解析式为y= (x+2)(x-4)，即
4.（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.求该抛物线的解析式.
【解析】设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意，得
∴所求抛物线的解析式为
【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法确定二次函数关系式的一般步骤和运用的思想方法.
5.抛物线的对称轴为x=1,其最高点的纵坐标是4,且经过点(0,3),则抛物线的表达式为　 　. 
解:∵二次函数图象的顶点为P(4,-4),∴设二次函数的表达式为y=a(x-4)2-4.又∵二次函数图象经过原点(0,0),∴0=a(0-4)2-4,解得a= ,∴二次函数的表达式为y= 4,即y= x2-2x.
8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是O(0,0),B(2,0),且经过点A(-2,-4),求抛物线y=ax2+bx+c的表达式.
9.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(3,1)和(-1,1),则此抛物线还经过点(　 　)A.(1,-2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(0,2)10.已知抛物线与二次函数y=-3x2的图象的开口方向和大小均相同,且顶点坐标为(-1,3),则它对应的函数表达式为(　 　)A.y=-3(x-1)2+3 B.y=3(x-1)2+3C.y=3(x+1)2+3 D.y=-3(x+1)2+3
11．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )
12.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的解析式 .