2021-2022学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省宁德市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数，则的共轭复数对应的点位于复平面的(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知四棱锥的所有棱长均相等，点，分别为线段，的中点，则异面直线与所成角的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，为上一点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，，，的平均数为，方差为，且，，，，，则，，，的平均数和方差分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定，，，表示被感染，，，，，，表示没有被感染．经随机模拟产生了如下组随机数：
   
   据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为米．(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知直线、和平面、，下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，、，则
C. 若，，则
D. 若，，则或

8. 北京在年成功召开了冬奥会，这是我国在年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事，是世界唯一的“双奥之城”我校组织奥运知识竞赛，甲、乙两名同学各自从“冰壶”，“冰球”，“滑冰”，“滑雪”四类冰雪运动知识试题中任意挑选两类试题作答，设事件“甲乙两人所选试题恰有一类相同”，事件“甲乙两人所选试题类型完全不同”，事件“甲乙两人均未选择冰壶类试题”，则下列结论正确的是(    )

A. 与为对立事件 B. 与互斥
C. 与相互独立 D. 与相互独立

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 对于复数，下列说法正确的是(    )

A. 若，则为实数
B. 若，则为纯虚数
C. 若，则或
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为

10. 若，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则存在实数，使得

11. 甲、乙两人在相同的条件下投篮轮，每轮甲、乙各投篮次，投篮命中次数的情况如图所示实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图，则以下说法正确的是(    )

A. 甲投篮命中次数的众数比乙的大 B. 甲投篮命中的成绩比乙的稳定
C. 甲投篮命中次数的平均数为 D. 甲投篮命中次数的第百分位数是

12. 棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，点是棱上的动点，则下列选项正确的有(    )

A. 存在点，使得平面
B. 存在点，使得
C. 的最小值为
D. 当时，三棱锥的外接球表面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设复数满足，则______．
14. 我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出人服役，则西乡抽______人．
15. 如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则这个组合体的表面积为______．

16. 的外接圆半径为，角，，的对边分别为，，，若，且，则______；的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，，．
    若，，三点共线，求；
    若，求，
18. 如图，长方体中，，是的中点．
    求证：；
    求证：平面．

19. 江滨县因疫情防控需要，于年月日进行全员核酸检测，江滨县海鹰社区对当天被采样的人进行年龄方面的统计，得到如图的频率分布直方图：求：
    
    的值；
    该社区参加核酸检测人员的平均年龄同一组数据用该组区间中点作代表；
    该社区某居民楼内，年龄在内有人为，，，，年龄在内有人为，，现从中随机抽取两人参与核酸检测问卷，求这两人中恰有人的年龄在内的概率．
20. 在中，角，，所对的边分别为，，，．
    判断的形状，并加以证明；
    如图，外存在一点，使得，，，且，求．

21. 羽毛球比赛规则：
    分制，每球取胜加分，由胜球方发球；
    当双方比分为：之后，领先对方分的一方赢得该局比赛；
    当双方比分为：时，先取得分的一方赢得该局比赛．经过鏖战，甲乙比分为：，甲在关键时刻赢了一球，比分变为：在最后关头，按以往战绩统计，甲发球时，甲赢球的概率为，乙发球时，甲赢球的概率为，每球胜负相互独立．
    甲乙双方比分为：之后，求再打完两球该局比赛结束的概率；
    甲乙双方比分为：之后，求甲赢得该局比赛的概率．
22. 如图，已知等腰梯形的外接圆半径为，，，点是上半圆上的动点不包含，两点，点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面．
    
    求三棱锥体积的最大值；
    当平面时，求的值；
    设与平面所成的角为，二面角的平面角为求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数，
的共轭复数对应的点位于复平面的第一象限．
故选：．
利用共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．
本题考查了共轭复数的定义、复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为点，分别为线段，的中点，故EF，
又四棱锥的所有棱长均相等，故ABCD为菱形，
故DC，故EF，所以异面直线与所成角为或其补角，
又四棱锥的所有棱长均相等，故为正三角形，
故，

故选：．
根据将异面直线与所成角转换为计算即可．
本题考查异面直线所成的角，考查推理能力，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
由已知结合向量的线性运算即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，若，，，的平均数为，方差为，
而，，，，，
对于数据，，，，其平均数，
方差；
故选：．
根据题意，由平均数和方差的性质分析可得答案．
本题考查平均数、方差的计算，注意平均数和方差的计算公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有，，，，共个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：．
根据题意分析随机数中没有，，，中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可．
本题考查了随机数表和对立事件相关知识，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在三角形中：，
由正弦定理得，
在中，．
故选：．
利用正弦定理求得，进而在直角三角形中求得．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，当，时，可能，可能，所以A错误，
对于，当，，、时，可能，可能、相交，所以B错误，
对于，当，时，可能，或可能，或可能与相交不垂直，所以C错误，
对于，当，时，或，所以D正确，
故选：．
根据线面、面面平行的判定和线面垂直的判定分析判断即可．
本题考查了空间中直线与平面的位置关系的判断，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对，因为所有事件包含“甲乙两人所选试题恰有一类相同”，事件“甲乙两人所选试题类型完全不同”，也包含“甲乙两人所选试题全相同”，故与为互斥事件，故A错误，
对，“甲乙两人所选试题恰有一类相同”与“甲乙两人均未选择冰壶类试题”可能同时发生，
故与不互斥，故B错误，
对，因为事件的概率，事件的概率，
事件的概率，因为，故与不相互独立，故C错误，
对，事件的概率，事件的概率，
因为，故与相互独立，故D正确．
故选：．
根据互斥事件与对立事件的定义判断，再根据相互独立事件的性质判断．
本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，若，则为实数，故A正确，
对于，若，当时，为实数，故B错误，
对于，令满足，但或，故C错误，
对于，，
，表示以为圆心，为半径的圆，
点的集合所构成的图形的面积为，故AD正确．
故选：．
对于，结合实数的定义，即可求解，
对于，结合纯虚数的定义，即可求解，
对于，结合特殊值法，即可求解，
对于，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数和纯虚数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：若，则与夹角为或，
所以或，
而，所以，故A错误；
对于：若，则，
所以，即，故B正确；
对于：若，左右同时平方得，
所以，即，故C正确；
对于：若，左右同时平方得，
所以，解得，
因为，
所以，则存在实数，使得，故D正确；
故选：．
根据，可得与夹角，结合数量积公式，可判断的正误；根据两向量垂直，可得，计算化简，即可判断的正误；见模平方，计算化简，可判断的正误；见模平方，结合数量积公式，可判断的正误，即可得答案．
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及模长的计算，考查计算能力．
 

11.【答案】 

【解析】解：由折线图可知，甲投篮轮，命中的次数分别为，，，，，
乙投篮轮，命中的次数分别为，，，，，
对，甲投篮命中次数的众数为，乙投篮命中的众数为，故A错误，
对，甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中的次数数据比较分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，故B正确，
对，甲投篮命中次数的平均数为，故C正确，
对，甲投篮轮，命中的次数从小到大为，，，，，故第百分位数是，故D错误．
故选：．
由折线图得到甲乙投篮次命中次数的数据，再根据众数、方差和平均数与百分位数的计算，逐项判定，即可求解．
本题主要考查频率分布折线图的应用，考查转化能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，将棱长为的正四面体放入如下图所示的正方体中，假设存在点，使得平面，则点不与线段端点重合，
又因为，平面，平面，，
所以平面平面，
又因为平面平面，所以平面平面，
但平面平面，所以假设不成立．所以不平行平面，
故A不正确；

对于，当与重合时，，故B正确；
对于，将、展开到同一平面，
如图，为，的交点时，的最小，最小值为：，故C正确；

对于，如下图，，
且，，，
所以面，因为在三角形中，
，
设三角形外接圆的半径为，
所以，则外接球半径满足，三棱锥的外接球表面积为，故D正确．

故选：．
将棱长为的正四面体放入如下图所示的正方体中，假设存在点，使得平面，由面面平行的判定性质证明平面平面，所以平面平面，但平面平面，可判断；当与重合时，，可判断；将、展开，如图，为，的交点时，的最小，由余弦定理求出可判断；当时，易证得面，求出三角形外接圆的半径为，由，求出，可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】
解：由，
得，
则．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，西乡抽．
故答案为：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，这个组合体的表面积为
故答案为：．
根据球的表面积与圆锥的侧面积公式求解即可．
本题考查旋转体的表面积，属于基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：的外接圆半径，根据正弦定理可得：
，，，
又，
，
，
，又，，
，，



，其中，为锐角，
又，又，为锐角，
，，
当时，，取得最大．
故答案为：；．
第一空，由结合正弦定理可得，再结合可得的大小，
第二空，根据正弦定理先将边化成角，再通过辅助角公式构建角的三角函数，最后通过函数思想即可解．
本题考查正弦定理，三角函数公式，辅助角公式，化归转化思想，函数思想，属中档题．
 

17.【答案】解：，，，
，，
，，三点共线，，，
，
．
，，
，由，得，，
，，，
，，
，． 

【解析】根据向量共线公式求得，再根据模长的坐标公式求解即可．
根据向量垂直的坐标公式求出，再根据向量夹角的坐标公式求解即可．
本题考查平面向量的共线，垂直，向量的求模公式和夹角公式，属于中档题．
 

18.【答案】证明：连结，四边形为正方形，则，

长方体中，平面，平面
，，
平面，平面，
．
证法一：连结交于点，则为的中点，
连结，则为的中位线，故，
平面，平面，

平面．
证法二：取中点，连结，

则，，四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面，
连结，则，，四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面，，
平面平面，平面
平面． 

【解析】连结，推导出，，从而得到平面，由此证明．
法一：连结交于点，连结，则，由此证明平面．
法二：取中点，连结，推导出四边形为平行四边形，从而得到，则平面，连结，推导出四边形为平行四边形，从而得到，则平面，进一步证明平面．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：因为，
所以．
由频率分布直方图可得，
岁．
设事件“随机抽取两人恰有人的年龄在”，
设“人中随机抽取人”所含的样本点有：

共个，
这“两人中恰有人的年龄在”的样本点有：

共种，
所以． 

【解析】由频率分布直方图可得，各组频率之和为，即可解得．
利用频率分布直方图能求出样本数据的平均数．
由古典概率模型，即可得出答案．
本题考查频数，平均数，概率的求法，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

20.【答案】是直角三角形，
证明如下：在中，由正弦定理得，
又，所以，
化简得：，，
所以，，

所以，是直角三角形，
解：在中，由正弦定理得，
由题设知，，所以，
由题知，，
在中，由余弦定理得，
所以． 

【解析】根据正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；
根据正弦定理以及余弦定理即可求解．
本题考查正弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设事件“甲乙双方比分为：之后，两人又打了两个球该局比赛结束”，
则这两个球均由甲得分的概率为：，
或者这两个球均由乙得分的概率为：，
因此，；
设事件“甲乙双方比分为：之后，甲赢得该局比赛”，则分三种情况：
甲连得分的概率为：，
甲先得分，乙得分，甲再得分的概率为：，
乙先得分，甲得分，甲再得分的概率为：，
因此． 

【解析】分两个球均由甲得分和这两个球均由乙得分两种情况求解即可；
分甲先得分，乙得分，甲再得分；乙先得分，甲得分，甲再得分两种情况求解即可．
本题考查了相互独立事件的概率计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，平面，由平面平面，平面平面，
知平面，
此时，到平面的距离最大，为，
所以，的最大值为；
解：连接交于点，连接，


则平面平面，
依题意，平面，平面，所以，
所以，，
等腰梯形中，∽，
所以；
证明：作垂足为，连接，


平面平面，平面平面，
此时，平面，是在平面的射影，
所以即为与平面所成的角；，
过作垂足为，连结，
又，，
所以平面，平面，，
所以即为二面角的平面角，，所以，即． 

【解析】当时，到平面的距离最大，的值最大；
连接交于点，连接，则有，可得，即可得答案；
作垂足为，连接，可得即为与平面所成的角；过作垂足为，连结，可得即为二面角的平面角，根据直角三角形中正切值的定义证明即可．
本题考查直线与平面平行的性质和空间几何体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考直线与平面，平面与平面所成角的求法，是中档题．