2021-2022学年天津一中高三（下）第四次月考数学试卷（4月份）（Word解析版）

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2021-2022学年天津一中高三（下）第四次月考数学试卷（4月份） 题号一二三总分得分      一、单选题（本大题共9小题，共45分）若全集，，，则集合(    )A.  B.  C.  D. 设，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件函数的图象是(    )A.  B.
C.  D. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，若高于分的人数是人，则该班的学生人数是(    )
A.  B.  C.  D. 已知函数，，，，则、、的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，，过点作垂直于平面，交球于点，则棱锥的体积为(    )A.  B.  C.  D. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，双曲线的渐近线上点满足，则双曲线的方程为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数，若关于的方程有个不同的根，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共30分）是虚数单位，复数______．在的展开式中，的系数是______用数字作答．若圆与圆相交，且公共弦长为，则______．已知袋内有大小相同的个红球和个白球，袋内有大小相同的个红球和个白球现从、两个袋内各任取个球，则恰好有个红球的概率为______ ；记取出的个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为______ ．已知实数，满足，则的最小值为______．已知等腰直角三角形，，，点满足，点为线段上的动点，点为线段上的动点．如果，则______；当时，的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75分）设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面所成锐二面角的大小；
Ⅲ求直线与平面所成角的余弦值．
设，分别为椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．
求和的通项公式；
若数列满足：，求数列的前项和；
若数列满足：，证明：．已知函数其中，为实数的图象在点处的切线方程为．
求实数，的值；
求函数的单调区间；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，
，，
，
故选：．
先分别求补集，再求交集即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
 2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了含绝对值不等式的解法、充分、必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，对分类讨论，解出不等式的解集，即可判断出．
【解答】
解：，当时，化为，恒成立；
当时，化为，解得，
综上可得：的解集为：
“”是“”的充分不必要条件．
故选A．  3.【答案】 【解析】解：，
为奇函数，即图象关于原点对称，排除，，
当时，，故排除，
故选：
先根据函数的奇偶性排除，，再根据特殊值排除，问题得以解决．
本题考查了函数图象的识别，关键求出函数的奇偶性，以及利用特殊值，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由频率分布直方图得高于分的频率为：
，
高于分的人数是人，
该班的学生人数是：．
故选：．
由频率分布直方图求出高于分的频率，再由高于分的人数是人，能求出该班的学生人数．
本题考查样本单元数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：当时，，，所以为增函数，
又，
所以．
故选：．
利用导数可得在上为增函数，比较，，的大小关系，利用单调性即可得结论．
本题注意考查函数值大小的比较，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：如图所示，过球心，
，由此能求出棱锥的体积．
．
故选：．
由已知得过球心，从而，由此能求出棱锥的体积．
本题考查棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 7.【答案】 【解析】【分析】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
由渐近线方程可得，的关系，由两直线垂直的条件：斜率之积为，可得，由，，的关系，解方程可得，，进而得到所求双曲线方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
可得，
，可得，
解得，即，
解得，，
则双曲线的方程为．
故选C．
   8.【答案】 【解析】解：函数，，
若函数在区间上有且只有两个零点，，
，，
则的取值范围为，
故选：．
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再结合正弦函数的零点，求得的取值范围．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的零点，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：因为 关于的方程有个不同的根，等价于，的图象有四个交点，
因为，
所以，若，则，则；
若，则，则；

，则，则；
，则，则；
，则，则；

作出的图象如图，求得，，
则，，
由图可知，时，，的图象有四个交点，
此时，关于的方程有个不同的根，
所以，的取值范围是，
故选：．
有个不同的根，等价于，的图象有四个交点，利用分段函数画出，的图象，根据数形结合可得结果．
本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查的数形结合思想的应用，属于难题．
 10.【答案】 【解析】解：，
即，
故答案为：．
由复数模的运算，结合复数的运算求解即可．
本题考查了复数的模和复数的运算，属基础题．
 11.【答案】 【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，故开式中含项系数为，
故答案为：．
先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得含项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
 12.【答案】 【解析】解：圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程，
，
圆的圆心到公共弦距离，
则公共弦长度为，解得．
故答案为：．
先求出两圆的公共弦直线方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式，以及垂径定理，属于基础题．
 13.【答案】  【解析】解：；
设从袋中取出红球的个数为，则，从袋中取出红球个数为，则，
所以．
故答案为：，．
分个红球来自袋与个来自袋，利用古典概型的概率公式即可求出恰好有个红球的概率，然后利用二项分布的数学期望公式求出的数学期望即可．
本题主要考查了离散型随机变量的数学期望及其分布列的求法，二项分布的期望求法，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：设，，可知，
则．
当且仅当，即，也即，时取等号．
故答案为：
设，可知是定值，即可利用基本不等式的性质求解．
本题主要考查了基本不等式性质的构造，确定是定值是解题的关键，属于中档题．
 15.【答案】   【解析】解：等腰直角三角形中，，，，如图所示：
因为，且、、三点共线，
所以，即；
设，，
当时，，解得，
所以，
又因为，
所以，
当时取“”，所以的最小值为．
故答案为：；．
根据题意，利用、、三点共线，即可求出的值；可设，，利用求出的值，用、表示出，再计算的最小值．
本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是难题．
 16.【答案】Ⅰ 解：由，知，分
由正、余弦定理得分
因为，，所以，则分
Ⅱ 解：由余弦定理得分
由于，所以分
故分
分 【解析】Ⅰ利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间
Ⅱ利用两角和差的余弦公式进行求解
本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
 17.【答案】Ⅰ证明：四边形为直角梯形，四边形为矩形，
，，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：
，，，，，，
则，．
，，
为平面的一个法向量．
又 平面．
平面．
Ⅱ设平面的一个法向量为，
则，，

 得
平面，平面一个法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则
因此，平面与平面所成锐二面角的大小为．
Ⅲ根据Ⅱ知平面一个法向量为 得，
，
设直线与平面所成角为，则

因此，直线与平面所成角的余弦值为． 【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
Ⅰ为平面的一个法向量，证明平面，只需证明；
Ⅱ求出平面的一个法向量、平面一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
Ⅲ求出平面一个法向量为，，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的余弦值．
本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
 18.【答案】解：Ⅰ点和关于点对称，
，，
，
，
，，
椭圆方程为：；
Ⅱ
结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平分．
理由如下：
如图，设，，三点的横坐标分别为，，，
直线的方程为：，
的方程为：，
由方程与椭圆方程联立消去，
得，
得，，
由方程与椭圆方程联立消去，
得，
得，，
四边形的对角线互相平分，
，的中点重合，
，
，
平方可得，，
，
，
解得，
故直线为时，四边形对角线互相平分． 【解析】Ⅰ利用椭圆的定义，性质即可得解；
Ⅱ设，的斜率为，利用，的方程分别于椭圆方程联立，得到根与系数关系，再结合对角线互相平分即，中点重合，可得关于的方程，解得值，得解．
此题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的综合，难度较大．
 19.【答案】解：设公差为，公比为，
，，
，解得或，
，，
故数列的通项公式为；
，，
，
解得，，
故数列的通项公式为；
解：，

；
证明：，
设，，则，
，，
． 【解析】由等比数列的通项公式求得公比，即可得数列的通项公式，再结合等差数列的通项公式求出公差和首项后，即可得解；
利用裂项相消法即可得解；
真分数的性质：设，，则，利用此性质将 放大为 即可证明．
本题考查了数列的综合应用，属于难题．
 20.【答案】解：函数，
则，
因为的图象在点处的切线方程，
则，解得，．
由可知，
，
则函数，
所以，
令，则，
当时，由，
，
则，
所以在上单调递减，
当时，由，
，
则，
所以在上单调递增，
故，
则在上单调递增，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增．
对分情况讨论如下：
当时，对任意的，不等式恒成立，
当时，不等式等价于，
即，
令，
则，
当时，由可知，
，
所以单调递增，
则，满足题意，
当时，由可知，
，
在上单调递增，
因为，
所以，
从而，
又，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，则单调递减，
所以当时，，不符合题意，
当时，不等式等价于，
同上，令，
则，
当时，由可知，，
所以单调递增，
故G，满足题意，
综上所述，的取值范围为 【解析】求导得，由的图象在点处的切线方程，则，解得，．
，则函数，进而可得，令，则，分别讨论当时，当时，的正负，的单调性．
对分情况讨论：当时，对任意的，不等式恒成立，
当时，不等式等价于，令，只需，
当时，不等式等价于，令，只需，
即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．