2021-2022学年江西省上饶市重点中学协作体高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年江西省上饶市重点中学协作体高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省上饶市重点中学协作体高一（下）期末数学试卷 题号一二三四总分得分       一、单选题（本大题共8小题，共40分）复数(    )A.  B.  C.  D. 已知为三角形的一个内角，且，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 已知，且，则(    )A.  B.  C.  D. 函数在区间上单调递增(    )A.  B.  C.  D. 如图，在同一平面内沿平行四边形边向外作正方形，其中，，，则(    )A.
B.
C.
D. 中，，，，则的面积等于(    )A.  B.  C. 或 D. 或世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 在锐角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20分）下列转化结果正确的有(    )A.  B.
C. 化成弧度是 D. 化成度是已知平面向量，且，则(    )A.  B.  C.  D. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的可能取值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，在长方体中，，点是棱上的一个云点，给出下列命题，其中真命题的是(    )A. 不存在点，使得
B. 三棱锥的体积恒为定值
C. 存在唯一的点，过，，三点作长方体的截面，使得截面的周长有最小值
D. 为棱上一点，若点满足，且平面，则为的中点
  三、填空题（本大题共4小题，共20分）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则______．中，，，分别是的内角，，所对的边，若，，则等于______．某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积为______．
 已知函数为实数的最大值为，则的值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）设复数．
若为纯虚数，求；
若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，，，，是的中点，求证：
平面；
求异面直线与所成的角的余弦值．
已知的夹角为锐角，，且在上的投影向量的模为．
若，求的值；
若，若，，三点共线，求的值．如图，正三棱柱中，为的中点．
求证：平面；
若，求直线与平面所成的角的正弦值．
已知函数，的图象关于直线对称，且图像相邻的对称轴之间的距离为．
求函数的解析式；
若对任意，成立，求实数的取值范围．如图，在平面四边形中，．
若，求的面积；
若，求．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：复数
故选：．
据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，化简复数为、形式．
本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．
 2.【答案】 【解析】解：由为三角形的内角且可知，

而

故选：
由为三角形的内角且可知，即，而，代入可求
本题主要考查了三角函数中同角平方关系的应用，解题的关键是根据已知判断出，的符号，在结合由为三角形的进行求解，本题容易漏掉对的符号的判断错选成
 3.【答案】 【解析】解：由题意，即，
故，即，
因为，故，
所以
故选：．
根据两角差的正切公式化简求解即可．
本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：对，当时，，此时函数单调递减，故A错误；
对，当时，，此时函数单调递增，故B正确；
对，当时，，此时函数在不是单调函数，故C错；
对，当时，，此时函数在上不是单调函数，故D错误．
故选：．
根据正弦函数的单调性逐一代入检验即可得出答案．
本题考查正弦函数的单调性，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：已知在同一平面内沿平行四边形边向外作正方形，其中，，，
则，
故选：．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积运算，属基础题．
 6.【答案】 【解析】解：，，，
由正弦定理可得：，
，可得：，或，
，或，
，或．
故选：．
由已知及正弦定理可求，结合范围，可得，利用三角形内角和定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：设，
则，
即为点到，和点三个点的距离之和，
则为等腰三角形，
如图，

由费马点的性质可得：要保证，则，
因为，则，所以点坐标为时，距离之和最小，
最小距离之和为．
故选：．
设出，从而得到，转化为点到，和点三个点的距离之和，画出图形，求出点坐标为，得到答案．
本题考查了向量与几何的关系以及距离的最值问题，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：如图，是的重心，延长交的中点为，且，
又，，，
又据，，两式展开相加可得：
，
，，，
，
又为锐角，，，，
再将代入上面三个不等式中可解得，
，
设，则，，
又，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
又，

即的取值范围是
故选：．
延长交的中点为，先根据点是的重心及得，再根据与相加得，接着再利用余弦定理构建关于的函数模型，然后利用为锐角得到自变量的取值范围，最后利用函数思想即可求解．
本题考查三角形重心的性质，平面向量的线性运算及向量数量积的性质，余弦定理，函数的建模，导数研究函数的单调性，函数思想，属难题．
 9.【答案】 【解析】解：，故A正确，
，故B错误，
化成弧度是，故C错误，
化成度是，故D正确．
故选：．
根据三角函数的诱导公式，以及弧度数和角度的转化公式，即可依次求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及弧度数和角度的转化公式，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：，．
所以，解得：，C错误；
所以，，D正确；
则，A正确；
因为，所以，B正确；
故选：．
根据向量模长相等求出，故C错误；
得到，求出，D正确；
利用向量数量积运算公式求出，A正确；
由得到，B正确．
本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应解析式为，
因函数是奇函数，则，即，
当时，，
当时，，
选项B，满足，，不满足．
故选：．
求出平移后的函数解析式，再利用正余弦函数的奇偶性计算判断作答．
本题考查了三角函数的平移变换以及奇偶性的应用，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：对于：连接，过作，垂足为，
当交于点时，，，，
所以平面，
又平面，
所以，
所以存在点，使得，故A错误；
对于：，故B正确；
对于：把长方体展开，使得面和面在同一平面时，
连接，交于，此时的周长最小，故C正确；
对于：建立空间直角坐标系如图：

根据题意可得，，
因为，
所以，
所以，，
设平面的法向量，
所以，即，
令，得，，
所以，
若平面，则，
设，，
所以，
所以，
解得，不符合，
所以不为的中点，故D错误，
故选：．
对于：连接，过作，垂足为，由线面垂直的性质定理，即可判定是否正确；
对于：，即可判断是否正确；
对于：把长方体展开，使得面和面在同一平面时，即可判断是否正确；
对于：建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，解得，，，若平面，则，解得点的坐标，即可判断是否正确．
本题考查立体几何中线面的位置，体积，解题中需要理清思路，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：根据题意，因为满足，
所以函数是以为周期的周期函数，
又因是定义在上的奇函数，
所以．
故答案为：．
根据，可得函数是以为周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性即可得解．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由正弦定理可得：，
则，
所以．
故答案为：．
由正弦定理可得，代入即可得出答案．
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：由几何体的直观图知，该几何体是一个半圆柱在过原圆柱轴截面上放置了一个正四棱柱，正四棱柱一条侧棱与半圆柱底面半圆直径重合，
正四棱柱的底面边长为，高为，半圆柱的底面圆直径为，高为，
所以该几何体的表面积为
故答案为：．
根据给定的几何体，求出长方体的表面积，半圆柱的曲面面积及两个底面半圆面积即可作答．
本题考查了几何体表面积的计算，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，
要使函数的最大值为，则，，
则，，
可得，
故答案为：．
由函数的最大值可得，即，进而求出的余弦值．
本题考查函数的最大值的应用，属于基础题．
 17.【答案】解：若为纯虚数，则，
所以，故，，；
．
若在复平面内对应的点在第四象限，则，
得． 【解析】直接根据纯虚数需满足的条件实部为虚部部位即可求解；
直接根据第四象限内点的坐标满足的条件求解即可
本题考查复数的基本知识，复数的概念的应用，考查计算能力．
 18.【答案】解：证明：连接交于，因为为正方形，所以．
因为，底面，所以．
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
因为，，，平面，
所以平面．

如图，取中点，连接，．
则，所以或其补角是异面直线、所成的角．
在中，，，，
在中由余弦定理，可得，，
所以异面直线、所成的角的余弦值为． 【解析】连接交于，根据线面垂直的判定定理和性质得到，再结合，即可证明平面；
取中点，连接，，即可得到或其补角是异面直线、所成的角，再由余弦定理计算即可；
本题考查异面直线所成角的求法和线面垂直的判定与性质，考查推理与运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由题意得，
得．
因为，所以，
得；
由题意得，，
因为，，三点共线，且点在线段上，
所以，
即，得，
解得，
故． 【解析】根据向量垂直的数量积公式，代入方程，即可求解；
利用三点共线，即向量共线，即可求解．
本题考查了向量数量积的运算以及共线向量相关知识，属于中档题．
 20.【答案】证明：如图所示，连接，交于点，
易知为的中点，连接，
为的中点，，
又平面，平面，
平面；

解：取中点，连，，
，，
平面，是直线与平面所成的角，
在中，，．
 【解析】连接，交于点，连接，根据中位线可得，即可得证；
取中点，连，，可得平面，则是直线与平面所成的角，即可求解．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
 21.【答案】解：，函数图像相邻的对称轴之间的距离为，周期满足，，，又图象关于直线对称，，，，，；
由得，，，，的最大值为，若对任意成立，
则，即，，而，若成立，则，解得，或，
故：实数的取值范围得， 【解析】通过三角变换化为基本函数，然后运用三角函数性质求之；
恒成立转化为最值问题求解．
本题考查了三角变换、三角函数周期性、对称性、最值基础知识，是基础题．
 22.【答案】解：由，可得，
又，，
故AB，
故；
设，因为，
则，
，
在中，由正弦定理可得 ，
因为，，
即，
所以，即，
所以，
设，
可得，可得，
所以，
即，
中，由正弦定理，
即，
所以可得． 【解析】根据求得，再结合求解即可；
设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可．
本题考查正余弦定理的应用及诱导公式的应用，属于中档题．