三角形的角平分线、中线和高培优练习（含解析）

这是一份三角形的角平分线、中线和高培优练习（含解析），共19页。
三角形的角平分线、中线和高培优练习
一．选择题
1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）

A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（　　）

A．△ABC中，AD是边BC上的高
B．△ABC中，GC是边BC上的高
C．△GBC中，GC是边BC上的高
D．△GBC中，CF是边BG上的高
7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
8．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　）

A．AF B．BH C．CD D．EC
11．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．

二．填空题
13．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　cm．

14．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有　 　．

15．已知BD是△ABC的中线，AB＝7，BC＝3，且△ABD的周长为15，则△BCD的周长为　 　．
16．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　 　．

17．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是　 　三角形．
18．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 　 　．
19．如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，如果BC＝10cm，那么BE＝　 　；∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，那么∠BAD＝　 　，∠DAF＝　 　．

20．如图，在△ABC中，AB＝2018，AC＝2015，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　 　．

21．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝　 　．

22．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　 　．

23．AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝　 　．
24．如图，△ABC的中线AD与高CE交于点F，AE＝EF，FD＝2，S△ACF＝24，则AB的长为　 　．

25．如图，在△ABC中，AD为中线，E在AC边上，AE＝AB，AD＝CE，若∠BAD＝60°，AB＝3，则线段BC的长度为 　 　．


三．解答题
26．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

27．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．

28．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？

29．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长．
（2）求BC边的取值范围．

30．已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．
（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？

31．在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．
求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．

32．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高．
（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B＝20°，∠C＝70°，则∠DAE＝　 　；
（2）若已知∠B＝25°，∠C＝85°，则∠DAE＝　 　；
（3）若已知∠B＝α，∠C＝β，且，求∠DAE的度数（结果用含α、β的代数式表示）．

33．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为　 　．


三角形的角平分线、中线和高培优练习解析
一．选择题
1．解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
2．解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
3．解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
4．解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
5．解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
6．解：A、∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
B、AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
C、∵GC⊥BC，
∴△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
D、∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
故选：B．
7．解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
8．解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
9．解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
10．解：根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．
故选：A．
11．解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D．
故选：D．
12．解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
二．填空题
13．解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
14．解：①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
故答案为③④．
15．解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为15，AB＝7，BC＝3，
∴△BCD的周长是15﹣（7﹣3）＝11，
故答案为：11

16．解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
17．解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形．
故答案为直角．
18．解：如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝×2×2＝2．
故答案为2．

19．解：∵在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高，BC＝10cm，
∴BE＝5cm，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠BAD＝40°，
∵AF是高，
∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAF＝40°﹣30°＝10°，
故答案为：5cm；40°；10°．
20．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD周长＝AB+AD+BD，△ACD周长＝AC+CD+AD，
∴△ABD周长﹣△ACD周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝2018﹣2015＝3，
即△ABD和△ACD的周长之差是3，
故答案为：3．
21．解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，
∴•AB•ED＝•AC•DF，
∴×3×ED＝×4×1.5，
∴ED＝2．
22．解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
则C△ABD﹣C△ACD
＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD
＝AB﹣AC
＝8﹣5
＝3，
故答案为：3．
23．解：当AD在三角形的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝65°+30°＝95°；
当AD在三角形的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝65°﹣30°＝35°．
故答案为：95°或35°．

24．解：延长AD至点M，使MD＝FD，连接MB，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS）．
∴MB＝CF，∠M＝∠CFD．
∴EC∥BM，
∵EA＝EF，CE是△ABC的高，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∵EC∥BM，
∴∠ABM＝∠AEF＝90°，
∴∠M＝∠MAB＝45°，
∴AB＝MB，
∴AB＝CF，
∵CE是△ABC的高，S△ACF＝24，
∴CF•AE＝24，即AB•AE＝24，
作FN⊥BM于N，
则四边形EFNB是矩形，△FMN是等腰直角三角形，
∴BE＝FN＝FM＝×2FD＝FD＝2，
∴AE＝AB﹣2，
∴AB•AE＝AB（AB﹣2）＝24，
∴AB＝6（负数舍去），
故答案为6．
方法二：
解：连接BF，作DM⊥CE于M，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD，S△BFD＝S△CFD，
∴S△ABF＝S△ACF＝24，
∵AE＝EF，CE⊥AB，
∴∠AFE＝45°，
∴∠DFM＝∠AFE＝45°，
∵FD＝2，
∴DM＝FM＝，
∵DM∥BE，BD＝CD，
∴BE＝2DM＝2，
设AE＝EF＝x，则AB＝2+x，
∴S△ABF＝AB•EF＝（2+x）•x＝24，
解得x＝4，
∴AB＝2+x＝6．
故答案为：6．


25．解：延长AD到F，使DF＝AD，连接CF，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
在△ABD与△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴CF＝AB＝3，∠F＝∠BAD＝60°，
过C作CH⊥DF于H，
∴∠CHF＝∠CHD＝90°，
∴∠FCH＝30°，
∴HF＝CF＝，CH＝CF＝，
∵AD＝CE，AE＝AB＝3，
∴设AD＝CE＝DF＝x，
∴AC＝3+x，AH＝2x﹣，
∵AC2＝AH2+CH2，
∴（3+x）2＝（2x﹣）2+（）2，
∴x＝4或x＝0（不合题意舍去），
∴AH＝，
∴DH＝DF﹣HF＝，
∴CD＝＝，
∴BC＝2CD＝2，
故答案为：2．

三．解答题
26．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
27．解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°
28．解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．
（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△BED＝S△ABC＝×60＝15；
∵BD＝5，
∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，
即点E到BC边的距离为6．

29．解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，
解得AC＝4，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴2＜BC＜10．
30．解：（1）∵，AC＝10cm，
∴AB＝15cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝8cm．
∵AD是BC边上的中线，
∴．
（2）不能，理由如下：
∵，AC＝12cm，
∴AB＝18cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝3cm．
∵AC+BC＝15＜AB＝18，
∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．
31．解：∵BE是AC上的高，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵CF是AB上的高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣20°＝40°，
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝50°，
∴∠BCH＝30°，
∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
32．解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝20°，
∴∠DAE＝45°﹣20°＝25°；
（2）∵∠B＝25°，∠C＝85°
∴∠BAC＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝35°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝5°，
∴∠DAE＝35°﹣5°＝30°；
（3）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝90°﹣﹣，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°﹣﹣﹣90°+β＝（β﹣α），
故答案为25°，30°．
33．解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC＝BC•AD＝4×4＝8．
∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，
故答案为：4．

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