初中数学苏科版八年级上册第五章 平面直角坐标系综合与测试单元测试精练

苏科版初中数学八年级上册第五章《平面直角坐标系》单元测试卷

考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图为小平与小聪微信对话记录，根据两人的对话记录，若以科技馆为坐标原点，小聪下车的位置坐标为，则小平家的坐标为(    )
   
    

A.  B.  C.  D.

2. 如图是雷达探测到的个目标，若目标用表示，目标用表示，那么表示的是目标(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

3. 如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个单位长度，那么在第分钟时，这个粒子所在位置的坐标是  【    】

A.  B.  C.  D.

4. 如图为小智使用手机内的通讯软件跟小杰对话的纪录，根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从科技馆出发走到小杰家，则此走法为何？(    )

A. 向北直走米，再向西直走米
B. 向北直走米，再向东直走米
C. 向北直走米，再向西直走米
D. 向北直走米，再向东直走米

第题                  

5. 定义：直线与直线相交于点，对于平面内任意一点，点到直线与直线的距离分别为、，则称有序实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，当蚂蚁爬了个单位长度时，它所处位置的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在平面直接坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中根据这个规律，则第个点的横坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若点在轴上，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上向右向下向右”的方向依次不断移动，每次移动个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点第次移动到点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 平面直角坐标系内有一点，若，则点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

11. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点为原点，点坐标为，是上的动点，过作轴于点，过作于点，过作于点当与重合时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为平面直角坐标系内一点，，，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为和，那么第一架轰炸机的平面坐标是______．

14. 如图，在平面直角坐标系中，一个边长为的正三角形沿着轴负方向滚动，点的初始位置为，当三角形的任一顶点落在轴上时，点的坐标为______ ．

15. 已知第二象限内的点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标______．
16. 如图，在直角坐标系中，，，，一条动直线分别与、交于点、，且将四边形分为面积相等的两部分，则点到动直线的距离的最大值为___，

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为，超市的坐标为．
    画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；
    直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积．

18. 天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离单位：可用公式来估计，其中单位：是眼睛离海平面的高度．
    如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
    若登上一个观望台，使看到的最远距离是中的倍，已知眼睛到脚底的高度为米，求观望台离海平面的高度？
    如图，货轮与观望台相距海里，如何用方向和距离描述观望台相对于货轮的位置______．

19. 如图是某初中平面结构示意图．图中每个小正方形的边长均为个单位长度
    请以大门为坐标原点，以水平向右为轴的正方向，以竖直向上为轴的正方向，用坐标表示下列位置：
    实验楼______、教学楼______、食堂______；
    不以大门为坐标原点，请你建立适当的平面直角坐标系，并写出宿舍楼、实验楼和大门的坐标．

20. 如图是我县新区部分小区位置简图．设港澳城为点，水榭花都为点，朝阳家园为点，滨海华庭为点，阳光家园为点，盛世嘉苑为点，设每个小格的单位为．
    请建立适当的平面直角坐标系，并写出六个小区的坐标；
    依次连接点、、、，请求出四边形的面积．

21. 阅读材料：象棋在中国有近三千年的历史，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．
    若点位于点，点位于点，则“帅”所在点的坐标为______；“马”所在点的坐标为______；“兵”所在点的坐标为______．
    若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图上画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示出来．

22. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点、分别在轴与轴上，已知，点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动．
    
    请写出点的坐标；
    如图所示把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标；
    点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；  若不存在，请说明理由．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．
    求三角形的面积；
    若过作交轴于，且，分别平分，，如图所示，求的度数；
    在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
     

24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，．
    

求，，的值；

如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；

在的条件下，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 已知抛物线与轴交于、两点与轴交于点，顶点为．

求抛物线的表达式

将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，的顶点为，点为上的一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据对话画出科技馆，公交站，小平家的相对位置，再求解．
本题考查根据坐标确定位置有关知识，根据题意先画出图形，进而得出从科技馆出发走到小平家的路线解题关键是找出科技馆，公交站，小平家的相对位置．
【解答】
解：如图，为坐标原点，公交站为坐标为，

米，
米，
则从科技馆出发走到小平家的路线为向北直走米，再向东直走米，
若以科技馆为坐标原点，建立坐标系，小平家的坐标为．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标位置的确定，读懂题目信息，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键．根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数写出即可．

【解答】
解：目标用表示，目标用表示，
第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
表示为的目标是：．
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【解答】
解：由题知表示粒子运动了分钟，
表示粒子运动了分钟，将向左运动，
表示粒子运动了分钟，将向下运动，
表示粒子运动了分钟，将向左运动，

于是会出现：
点粒子运动了分钟，此时粒子将会向下运动，
在第分钟时，粒子又向下移动了个单位长度，
粒子的位置为，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查根据坐标确定位置．根据题意先画出图形，可得出，，再得出，即可得出科技馆出发走到小杰家的路径为：向北直走米，再向西直走米．
【解答】
解：如图：

依题意，，，
，所以科技馆出发走到小杰家的路径为，
向北直走，再向西直走．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长的点在与已知直线相距的两条平行线上是解题的关键．“距离坐标”是的点表示的含义是该点到直线、的距离分别为、由于到直线的距离是的点在与直线平行且与的距离是的两条平行线、上，到直线的距离是的点在与直线平行且与的距离是的两条平行线、上，它们有个交点，即为所求．

【解答】

解：如图，

到直线的距离是的点在与直线平行且与的距离是的两条平行线、上，
到直线的距离是的点在与直线平行且与的距离是的两条平行线、上，
“距离坐标”是的点是、、、，一共个．
故选D．

6.【答案】 

【解析】提示：由题意知：，，，，

蚂蚁爬行一周的路程为：，，

即蚂蚁爬行个单位时，所处的位置是和轴的交点，
其坐标为．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．观察图形可知，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且轴上右下角点的横坐标与这个正方形边长上点的个数相等，根据此规律解答即可．
【解答】
解：根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，
右下角的点的横坐标为时，共有个，，

右下角的点的横坐标为时，共有个，
，是奇数，
第个点是，
第个点的横坐标为．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查点的坐标的相关知识，解题时注意：轴上点的横坐标为．
依据点在轴上，其横坐标为，列式可得的值．
【解答】
解：在轴上，
，
解得，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
根据图象可得智能机器人移动次完成一个循环，再计算次移动中共完成了几次循环，余数为多少，即可得出点的坐标．
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的变化规律，解答本题的关键是观察智能机器人移动的规律．
【解答】
解：，，，，，，，
由智能机器人移动的规律看出：每移动次将在轴上向右前进个单位长度，
，
完成次移动后，机器人回到轴，离坐标原点的距离为：个单位长度，
接下来机器人还需继续按规律移动次，再次到达轴，水平前进了个单位长度，此时离坐标原点的距离为：个单位长度，
的坐标是．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，
点位于第四象限．
故选D．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．设，依据，可得，，，，，再根据当与重合时，列方程，即可得到的值，进而得出点的坐标．
【解答】

解：点坐标为，
，
如图，设，

是等边三角形，
，
于点，于点，，
，
，
，
，
，
，
当与重合时，，
，
解得，
，
，，

故选C．

12.【答案】 

【解析】解：当点在轴上方．如图，作轴，

点的坐标为，的坐标为，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
点坐标为，
；
当点在轴下方．如，作轴，
与证明方法一样可证得≌，

，，
，
点坐标为，
．
故选：．
讨论：当点在轴上方．作轴，，，由于，利用等角的余角相等得到，然后根据“”可判断≌，则，，于是点坐标为，得到；当点在轴下方．作轴，与证明方法一样可证得≌，得到，，则，所以点坐标为，得到．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查坐标问题，关键是根据和的坐标以及与的关系解答．
根据和的坐标以及与的关系进行解答即可．
【解答】
解：因为和，
则平面直角坐标系为：

所以点的坐标为，
故答案为．  

14.【答案】，， 

【解析】解：如图，

情形：当点落在轴上时，此时．
情形：当落在轴上时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交的延长线于，则，
，，
，
，
过点作轴于．
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
情形：当落在轴上时，，
综上所述，满足条件的点的坐标为：，，，
故答案为：，，
分三种情形：情形：当点落在轴上时，此时．
情形：当落在轴上时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，延长交的延长线于，则，利用相似三角形的性质求出等的证明，再利用中点坐标公式求出坐标．
情形：当落在轴上时，
本题考查旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

15.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离为，到轴的距离为，且它在第二象限内，
点的坐标为．
故答案为．
根据坐标的表示方法由点到轴的距离为，到轴的距离为，且它在第二象限内即可得到点的坐标为．
本题考查了点的坐标：在直角坐标系中，过一点分别作轴和轴的垂线，用垂足在轴上的坐标表示这个点的横坐标，垂足在轴上的坐标表示这个点的纵坐标；在第二象限，横坐标为负数，纵坐标为正数．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标，点的坐标轴的距离，勾股定理，三角形的面积，梯形的面积，三角形全等的判定和性质，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，等积变形关键是添加辅助线：过作轴的垂线交于点，过的中点作直线分别与，交于点、，连接，先根据点的坐标转化成距离，再根据梯形的面积公式和等积变形证明
再根据根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得当时，点到直线的距离取最大值即可解答．
【解答】
解：，，，
，，，，．
过作轴的垂线交于点，过的中点作直线分别与，交于点、，连接，如图．
则，，．
．
在和中，
≌，
，

根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得当时，点到直线的距离取最大值，最大值为．
故答案为：．  

17.【答案】解：画坐标轴如图所示，
火车站，体育场，医院；

三角形的面积，
，
，
． 

【解析】以文化宫向右个单位，向下个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后分别写出各位置坐标即可；
用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小三角形的面积，列式计算即可得解．
本题考查了坐标确定位置，准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】南偏西方向，相距海里 

【解析】解：当时，，
舍或，
答：当眼睛离海平面的高度是时，能看到远；

当时，可得，
解得，
则观望台离海平面的高度为米；

观望台在货轮的南偏西方向，相距海里位置，
故答案为：南偏西方向，相距海里．
求出时的值即可得；
求出时的值，再减去米即可得答案；
根据方位角定义可得．
本题主要考查解一元二次方程和坐标确定位置，根据题意得出一元二次方程和方位角的定义是解题的关键．
 

19.【答案】  ，   ，； 
如图，以实验楼为坐标原点建立坐标系，

宿舍楼的坐标为、实验楼的坐标为、大门的坐标为． 

【解析】解：如图，以大门为坐标原点，以水平向右为轴的正方向，以竖直向上为轴的正方向，

实验楼坐标为、教学楼的坐标为、食堂的坐标为，
故答案为：、、；

见答案．
根据要求建立坐标系，由平面直角坐标系内点的坐标可得答案；
可建立以实验楼为原点的坐标系，据此可得．
本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
 

20.【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示：
，，，，，；
． 

【解析】以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系即可；
根据求得即可．
此题考查了三角形的面积以及坐标的确定，建立合适的坐标系是解题的关键．
 

21.【答案】；；
． 

【解析】解：由点位于点，点位于点可知坐标系如图所示：

则帅、马、兵 ，
故答案为：、、 ；

如图所示：
．
根据点、坐标确定坐标系，从而得出答案；
答案不唯一，根据“马”的走法：每次从“日”字的一个顶点走到相对顶点可得．
本题主要考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
 

22.【答案】解：，，四边形为长方形，
．
设，则，如图，

，，
，
，
，
，解得
则此时点的坐标是；
存在，理由为：
若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图，

当，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，即；
当时，此时；
当时，过作于点，
在中，，
根据勾股定理得：，
，即，
综上，满足题意的坐标为或或 

【解析】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想．
因为四边形为长方形，根据其边长即可得出点坐标．
当点的对应点恰好落在边上时，根据勾股定理即可求出此时坐标；
存在，分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出坐标即可．
 

23.【答案】解：由题意得，，，
解得，，，
则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，，
三角形的面积；
作，则，

，
，
，
，


，
，分别平分，，
，，
，
；
设点的坐标为，
由题意得，，
即，
解得：，
则三角形和三角形的面积相等时，点坐标为或 

【解析】根据非负数的性质分别求出、，根据三角形面积公式计算；
作，结合，根据平行线的性质得到，，，从而得到，再根据角平分线的定义计算即可；
设点的坐标为，根据三角形的面积公式列式计算．
本题考查的是坐标与图形，角平分线的定义，三角形的面积公式，掌握平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

24.【答案】解：由已知，及，
可得，，．
，，
．
．
，
，
，
存在点，使． 

【解析】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法．
用非负数的性质求解；
把四边形的面积看成与的面积和，用来表示即可；
可求，是已知量，根据题意，列方程解答即可．
 

25.【答案】解：与轴交于、两点

整理得：
解得：
抛物线的表达式为：

的顶点坐标为
将抛物线绕原点旋转后得到抛物线
则的顶点坐标为
：

设，
过点作轴交于点，

由，得到直线的表达式为．
．

，即
解得，．
，

 

【解析】此题主要考查二次函数的综合
利用待定系数法解得即可
由题意求得抛物线的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线的图象，先求出三角形
的面积设，过点作轴交于点，由，得到直线的表达式为再表示出，最后根据三角形面积公式列出方程求解