2021-2022学年江苏省苏州市高新二中七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省苏州市高新二中七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 肥皂泡的泡壁厚度大约是，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，由能得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若，则下列判断中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知是方程的解，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，用直尺和圆规作的平分线的原理是证明≌，那么证明≌的依据是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 下列命题中的真命题是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 内错角相等
C. 如果，那么
D. 两个角的两边分别平行，则这两个角相等

9. 若，，则与的关系为(    )

A.  B.
C.  D. 与的大小由的取值而定

10. 如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的倍，若中间小正方形的面积为，则大正方形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 计算：______．
12. 把方程改写成用含的式子表示的形式，得______．
13. 一个三角形的两边长分别为和，若第三边取奇数，则此三角形的周长为______．
14. 若，则______．
15. 如图，绕点旋转得到，，，，则的度数为______．

16. 如图，，，是五边形的个外角，若，则______

17. 若不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______．
18. 若一个整数能表示成、为整数的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以是一个完美数已知、是整数，是常数，要使为“完美数”，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共64分）

19. 计算：
    计算；
    ．
20. 分解因式：
    ；
    ．
21. 解方程组；
    解不等式组，并写出它的最大整数解．
22. 先化简，再求值：，其中，．
23. 如图，在中，点是上一点，，过点作，且．
    求证：≌；
    若，，，求的度数．

24. 为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种件，乙种件，共需元；如果购买甲种件，乙种件，共需元．
    甲、乙两种工具每件各多少元？
    现要购买甲、乙两种工具共件，总费用不超过元，那么甲种工具最多购买多少件？
25. 【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
    方法一可表示为______________ ；
    方法二可表示为_______________ ；
    根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是_______________ 等式的两边需写成最简形式；
    由上可知，一直角三角形的两条直角边长为和，则其斜边长为_______________ ；
    【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式如图是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成块．
    用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为_______________ 等号两边需化为最简形式
    已知，，利用上面的规律求的值．
     

26. 如图，已知正方形中，边长为，点在边上，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒．
    的长为______用含的代数式表示；
    若存在某一时刻，使得和同时为等腰直角三角形时，求与的值．
    若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，求与的值．

27. 如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，若，．
    ______ ；
    如图，点、是、角平分线上的两点，且，求的度数；
    如图，点是平面上的一点，连结、，是射线上的一点，若，，且，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、原式不能分解，不符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
，故本选项错误；
B、根据可得，不能推出，故本选项错误；
C、

，
，
又，
，故本选项正确；
D、根据不能推出，故本选项错误；
故选：．
根据平行线的性质、结合图形找到同位角、内错角、同旁内角，逐个判断即可．
本题考查了平行线的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，必须弄清两条直线被那一条线所截．
 

5.【答案】 

【解析】解：应用不等式性质，不等式两边同时加上同一个数，不等式符号方向不变，则、B正确；
不等式两边同乘以一个正数不等号方向不变，C正确；不等号两边同乘以一个负数时不等号方向改变，则D错误．
故选：．
根据不等式性质判断
本题考查了不等式的基本性质，注意不等号两边同乘以一个负数，不等号方向改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
把代入方程得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出一个关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
依据，，，因此符合的条件，即可证明≌．
【解答】
解：由作图知：，，，即三边分别对应相等，
≌，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
B、两直线平行，内错角相等，是假命题；
C、如果，那么，是真命题；
D、两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，是假命题；
故选：．
分别判断后，找到正确的命题就是真命题．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是整式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
利用求差法、多项式乘多项式的运算法则进行计算，根据计算结果判断即可．
【解答】
解：

，
，
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为，宽为，
依题意，得：，
解得：，
所以．
故选：．
设小长方形的长为，宽为，则大长方形的长为，宽为，根据图形中大小长方形长于宽之间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再利用正方形的面积公式可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式故答案为．
根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
将看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
 

13.【答案】 

【解析】解：设第三边长为．
根据三角形的三边关系，则有，
即．
因为第三边取奇数，
所以．
所以周长．
故答案为：．
本题可先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，






故答案为：．
首先根据，求出的值，然后用它加上即可．
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
 

15.【答案】 

【解析】解：绕点旋转得到，，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质得出≌，求出，根据三角形内角和定理求出，即可求出答案．
本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质的应用，注意：旋转后得出的图形和原图形全等．
 

16.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和为，而，
，
又，
，
故答案为：．
利用五边形的内角和，求出，再根据平角的定义，即可求出答案．
本题考查多边形的内角和、三角形的内角和以及三角形的性质，掌握多边形的内角和的计算方法以及平角的定义是解决问题的前提．
 

17.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
不等式组只有一个整数解，
，
故答案为：．
分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解只有个，即可得到的范围．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：
，
为完美数，
，
，
故答案为：．
利用完全平方公式分别把含和的项写成一个代数式的平方的形式，根据完美数的定义得，从而得到的值．
本题考查了完全平方公式的应用，把含的项写成一个代数式的平方，把含的项写成一个代数式的平方是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；

原式

． 

【解析】直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案；
直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：
；


． 

【解析】直接提公因式可分解因式；
先提公因式，再根据平方差公式可解答．
本题主要考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握提公因式法与公式法的综合应用进行因式分解是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：，
得：，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解为；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组最大整数解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

22.【答案】解：原式，
当，时，原式． 

【解析】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌；

解：≌，
，
由三角形的外角性质得，，
在中，． 

【解析】根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可；
根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据三角形的内角和等于列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲种工具每件元，乙种工具每件元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种工具每件元，乙种工具每件元．
设甲种工具购买了件，则乙种工具购买了件，
依题意得：，
解得：．
答：甲种工具最多购买件． 

【解析】设甲种工具每件元，乙种工具每件元，根据“如果购买甲种件，乙种件，共需元；如果购买甲种件，乙种件，共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设甲种工具购买了件，则乙种工具购买了件，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：；  ；
；
；
；
由可得：
，
，，
，
． 

【解析】解：方法一可表示为：；
方法二可表示为：．
故答案为：；．
，
，
，
．
故答案为：．
，
．
故答案为：．
方法一可表示为：；
方法二可表示为：．
等式为：．
故答案为：．
见答案．

分两种方法表示出面积即可；
把中的式子整理可得答案；
把数值代入中得到的结论即可；
分两种方法表示出体积即可；
根据的等式代入数值可得答案．
本题考查勾股定理的推理过程，根据图形用不同的方法表示面积或体积是解题关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：，
故答案为．

当是等腰直角三角形时，，
，
当是等腰直角三角形时，，

综上所述，，．

当≌时，
，，
即，，
解得，
当≌时，
，，
即，，
解得，．
根据计算即可．
根据等腰直角三角形的性质构建方程求解即可．
分≌和≌两种情况进行解答．
本题属于四边形综合题，考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：过作，如图：

，
，
，，
，
，，
，
故答案为：．
过作，过作，如图：

，
，
，，，
平分，平分，，，
，，
，
，
；
设交于，如图：

，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得．
过作，由，得，，即，故；
过作，过作，由，得，，，而平分，平分，，，即得，，根据，得，即得；
设交于，由，得，故，同理，，得，从而，又，得，即得．
本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是作辅助线，构造一组平行线，再利用平行线性质转化角．