第15讲 抛物线-暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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第15讲 抛物线
【知识点梳理】
知识点一：抛物线的定义
定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点诠释:
（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值
（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.
（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.
知识点二：抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式
，，，。
知识点诠释：
①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；
②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.
④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.
⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。
知识点三：抛物线的简单几何性质：
抛物线标准方程的几何性质
范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。
对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。
抛物线标准方程几何性质的对比
图形




标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点




离心率
e=1
准线方程




焦半径





知识点诠释：
（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.
【题型归纳目录】
题型一：抛物线的定义
题型二：求抛物线的标准方程
题型三：抛物线的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：抛物线的几何性质
题型六：抛物线中的范围与最值问题
题型七：焦半径问题
【典型例题】
题型一：抛物线的定义
例1．（沪教版（2020）选修第一册领航者第2章2.4抛物线第3课时抛物线的性质（2））若动点满足，则点M的轨迹是（       ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，动点满足，
即，
即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，
又由点不在直线上，
根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以的抛物线.
故选：D.
例2．（江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题）对抛物线，下列描述正确的是（       ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】
将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
例3．（吉林省四平市第一高级中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题）已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（       ）

A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】B
【解析】
【分析】
结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案.
【详解】
对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误；
对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立；
对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立；
对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误；
故选：B
例4．（四川省南充市阆中市阆中中学校2021-2022学年高二下学期期中数学（文）试题）抛物线的焦点到准线的距离是（       ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线方程求得，由此求得正确答案.
【详解】
抛物线方程为，
所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离是.
故选：A
例5．（安徽省蚌埠市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）抛物线的准线方程是，则实数___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.
【详解】
抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
例6．（第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.2抛物线的几何性质）如图，l是平面上一条直线，A在与l垂直的直线m上，且A到l的距离为2，图中的圆是以A为圆心的一组同心圆，它们的半径分别为1，2，3，…，除直线m外，图中的直线都是与直线m垂直的，相邻两直线之间的距离为1.在图中直线与圆的交点中，找出到点A与到直线l距离相等的点，并把这些点用光滑的曲线顺次连接起来，观察所得曲线的形状.

【答案】图形见解析，曲线为抛物线；
【解析】
【分析】
依题意画出图形，根据抛物线的定义判断即可；
【详解】
解：因为交点到点和到直线的距离相等且点不在直线上，根据抛物线的定义，可得交点在以为焦点，直线为准线的抛物线上；

例7．（3.3.1抛物线的标准方程）已知动点到点的距离比到直线的距离小1，试判断点M的轨迹是什么图形．
【答案】抛物线
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义判断．
【详解】
动点到点的距离比到直线的距离小1，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，
所以点轨迹是以为焦点，直线为焦点的抛物线．
例8．（习题2-3）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的准线方程为，得到且焦点在y轴上求解；
（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到求解；
（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到求解；
（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为，将点代入求解.
(1)
解：因为抛物线的准线方程为，
所以，p=3，
所以抛物线的方程是；其图象如下：

(2)
因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：

(3)
因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2
所以，p=4，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：

(4)
因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程是，其图象如下：

例9．（3.2抛物线的简单几何性质）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.
（1）；
（2）；
（3）．
通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
做出抛物线，根据图象得出结论.
【详解】
在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图，


通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大.

题型二：求抛物线的标准方程
例10．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（文））焦点在直线上的抛物线的标准方程为（       ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.
【详解】
解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），
当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，
当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，
故选：B
例11．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））抛物线的准线方程是，则实数a的值（       ）
A． B． C．8 D．-8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据准线方程列出方程，求出实数a的值.
【详解】
由题意得：，解得：.
故选：A
例12．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为3，离心率为，则以双曲线C的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线焦点到渐近线的距离求得，结合离心率求得，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】
双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
离心率，
，
所以双曲线的右顶点为，
对于抛物线，，
所以抛物线方程为.
故选：C
例13．（2022·全国·高二课时练习）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作，，根据抛物线定义和长度关系可得，由可构造方程求得，根据比例关系可求得，即的值，由此可得结果.
【详解】
作，，垂足分别为，设与轴交于点，

由抛物线定义知：，，
设，则，，，则，
，又，，，
，，即，抛物线方程为：.
故选：C.
例14．（2022·海南华侨中学高二期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解；
【详解】
解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
例15．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））抛物线上一点的坐标为，则点到焦点的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将点坐标代入抛物线可得，则所求距离为.
【详解】
在抛物线上，，解得：，点到焦点的距离为.
故选：B.
例16．（2022·全国·高二课时练习）焦点在x－y－1＝0上的抛物线的标准方程是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线与坐标轴的交点可得到焦点坐标可得到标准方程．
【详解】
因为抛物线焦点坐标即为直线与坐标轴的交点,
所以其焦点坐标为和，
当焦点为时，设抛物线标准方程为，
可知，所以其方程为，
当焦点为时，设抛物线标准方程为,
可知其方程中的，
所以其方程为，
故答案为：或．
例17．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
先求出双曲线的半焦距c，进而得到实数的值.
【详解】
解：由得双曲线，则 ，所以，抛物线的焦点为，，，
故答案为：4.
例18．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则抛物线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出双曲线的左焦点坐标，进而列出方程，求出，求出抛物线方程.
【详解】
的左焦点坐标为，则，
解得：，
所以抛物线的方程为
故答案为：
例19．（2022·全国·高二课时练习）准线方程为的抛物线标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线准线方程可知抛物线开口方向和几何量p，然后可得方程.
【详解】
由抛物线准线方程可知，抛物线开口向右，其中，得，
所以抛物线标准方程为.
故答案为：
例20．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则PF的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
把点代入抛物线方程解得，根据抛物线定义．
【详解】
的焦点为
点在抛物线上，则，解得
根据抛物线的定义
故答案为：5．
例21．（2022·全国·高二课时练习）求焦点在直线上的抛物线的标准方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
先求出直线与轴以及轴交点，即抛物线的焦点，从而可写出抛物线方程.
【详解】
因为直线与轴交点为，与轴交点为，
所以当抛物线焦点为时，抛物线方程为；
当抛物线焦点为时，抛物线方程为.
故所求方程为或.
例22．（2022·全国·高二课时练习）已知方程的抛物线上有一点，点M到焦点F的距离为5，求m的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先由抛物线的定义求出p=4得到标准方程，再将M点坐标代入抛物线方程即可求解.
【详解】
抛物线的准线方程是.
由抛物线的定义可得：,解得p=4.
所以抛物线方程是.
将M点坐标代入抛物线方程得，解得：.
综上所述：
例23．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，其上一点到焦点F的距离为6．求抛物线的方程及点A的坐标．
【答案】，或
【解析】
【分析】
由题意，设抛物线方程为，则由抛物线的定义结合已知可得，求出的值，从而可得抛物线方程，再将坐标代入抛物线方程可求出的值，进而可求出点A的坐标
【详解】
由题意，设抛物线方程为，则其准线方程为，
∴，得p＝4，故抛物线方程为；
又∵点在抛物线上，
∴，∴，
即点A的坐标为或．

题型三：抛物线的综合问题
1
例24．（2022·浙江·高二阶段练习）已知点是抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合抛物线定义可得，可知当最大时，最大，则当直线与抛物线相切时，取得最大值；将直线方程与抛物线方程联立，利用可求得点坐标，结合双曲线定义可求得，结合可得，由此可得双曲线离心率.
【详解】
过点作准线的垂线，垂足为，

由抛物线定义知：；
由得：，
当取最大值时，最小，即最小，则最大；
当直线与抛物线相切时，最大；
设直线，
由得：，，
解得：，，解得：，；
由双曲线定义知：，则；
又，则，双曲线离心率.
故选：A.
例25．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（       ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由点在抛物线上可得抛物线的方程为，结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与焦点坐标，即可得解.
【详解】
由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝y，
则抛物线的焦点到准线的距离等于.
故选：B
例26．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线的焦点为，为上的动点，直线与的另一交点为， 关于点的对称点为．当的值最小时，直线的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设为的中点，设抛物线的准线为，作，，，则由抛物线定义知，再分析可得当，，三点共线且在，之间时取得最小值，再设方程为，联立抛物线利用韦达定理结合的横坐标为4即可求得直线方程.
【详解】
设为的中点，连接，


设抛物线的准线为，作，，，垂足分别为，，．
则，，
，
又点到直线的距离为，
，
当，，三点共线且在，之间时，，
此时，点的横坐标为．


过点，
故设方程为，
代入，得
，，则．
当，，三点共线时，，
解得，
直线的方程为，此时
点在，之间，成立．
所以当的值最小时，直线的方程为
故答案为：
例27．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点（点在轴的上方），则______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出直线AB的方程及点A，B的横坐标，再利用抛物线定义计算作答.
【详解】
抛物线：的焦点为，准线方程为：，
直线AB的方程为：，由消去y并整理得：，解得，，
依题意，点A的横坐标，点B的横坐标，
由抛物线定义得：.
故答案为：
例28．（2022·全国·高二期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度______米．

【答案】3.84.##
【解析】
【分析】
建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点的坐标，即可求出支柱的长度.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：.

因为桥的跨度米，拱高米，所以,
代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为
把点的横坐标-2代入,得，解得：，
支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).
故答案为：3.84.
例29．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））圆的圆心在抛物线上，且圆与轴相切于点A，与轴相交于、两点，若（为坐标原点），则______．
【答案】
【解析】
【分析】
不妨设点在第一象限，设，则，根据求出，从而可求得圆的方程，求出的坐标即可得解.
【详解】
解：不妨设点在第一象限，
设，则，
故，解得，
故圆心，
所以圆的半径等于，
所以圆的方程为，
当时，或，
所以.
故答案为：.

例30．（2022·上海市大同中学高二期中）已知椭圆上存在两点M、N关于直线对称，且MN的中点在抛物线上，则实数t的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据给定条件，设出直线MN的方程，再与椭圆方程联立求出MN中点坐标，代入抛物线方程计算作答.
【详解】
依题意，设直线MN的方程为：，由消去y并整理得：，
，即，设，则，于是得线段MN的中点，
因MN的中点在抛物线上，则，解得或（舍去），
线段MN的中点在对称轴上，则有，
所以实数t的值为0.
故答案为：0
例31．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解
（2）解出坐标，由割补法求解
(1)
抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，
由消去得，
所以，
由抛物线定义得，
即，所以.
所以抛物线的方程为.
(2)
由知，方程，
可化为，
解得，，故，.
所以，.
则面积

题型四：轨迹方程
例32．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.
【详解】
由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
例33．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
例34．（2022·江苏·高二）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的定义和方程，计算可得所求轨迹方程．
【详解】
解：由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，
设抛物线的方程为，
可知，解得，
所以该抛物线方程是，
故答案为：
例35．（2022·江苏·高二）若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，将条件转化为点到直线的距离与它到点的距离相等，结合抛物线的定义即可求解点的轨迹方程．
【详解】
点到直线的距离比它到点的距离小，
点到直线的距离与它到点的距离相等，
点的轨迹是以为焦点、直线：为准线的抛物线，
因此，设的轨迹方程为，，
可得，解得，，
动点的轨迹方程为．
故答案为：．
例36．（2022·全国·高二课时练习）已知点到点的距离比点到直线的距离小，求点的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，可设该抛物线的方程为，求出的值，即可得解.
【详解】
解：由题意可知，点到点的距离和点到直线的距离相等，
故点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设点的轨迹方程为，则，解得，
故点的轨迹方程为.
例37．（2022·全国·高二课时练习）已知点M到点的距离比到y轴的距离大2，求点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离，即点M的轨迹是
抛物线，求其方程可得答案．
【详解】
由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离，
设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点，
开口向右的抛物线，设其方程为，所以，，
所以点M的轨迹方程为.
例38．（2022·全国·高二课时练习）已知点M与点的距离比它到直线的距离小2，求点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
转化命题为动点到的距离与它到直线的距离相等，利用抛物线的定义求解抛物线方程即可．
【详解】
由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，
即动点到的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，
则点的轨迹方程为.
例39．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
【答案】y2＝－8x.
【解析】
【分析】
由题设易知P到圆心A的距离和到定直线x＝2的距离相等，根据抛物线定义写出轨迹方程即可.
【详解】
由题意知：点P到圆心A(－2, 0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，
所以点P的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为x＝2，
故点P的轨迹方程为y2＝－8x.
例40．（2022·江苏·高二课时练习）已知点到椭圆的右焦点的距离与到直线的距离相等，求点的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知椭圆右焦点为，进而设，再根据几何关系求解即可.
【详解】
解：由椭圆方程得其右焦点为，
设，由于点到的距离与到直线的距离相等，
所以，整理得
所以点的轨迹方程为.
例41．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，直线，求与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解.
【详解】
由图可知，到F的距离比到直线的距离大1，
记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离，
由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中，
所以M的轨迹方程为：

例42．（2022·江苏·高二课时练习）从抛物线上任意一点向x轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
【答案】轨迹方程为，是以为焦点的抛物线；
【解析】
【分析】
先设出垂线段的中点为，点是抛物线上的点，把它们坐标之间的关系找出来，代入抛物线的方程即可．
【详解】
解：设垂线段的中点为，点是抛物线上的点，
则，；即，，是抛物线上的点，
所以，即，即垂线段中点的轨迹方程为，是以为焦点的抛物线；
例43．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线和圆．若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知圆心的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，求出的值，即可得出圆心的轨迹方程.
【详解】
设圆为半径为，圆的圆心为，半径为，则，
由题意可知，圆心到直线的距离为，
所以，圆心到直线的距离和它到点的距离相等，
故圆心的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
设该抛物线的标准方程为，则，可得，
因此，圆心的轨迹方程为.
例44．（2022·全国·高二课时练习）已知动点P到点的距离与它到直线的距离相等，求点P的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知的轨迹是以为焦点的抛物线，由此得到出，即可以求出的轨迹方程．
【详解】
解：由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点的抛物线，其开口方向向右，且，解得，所以其方程为．
例45．（2022·全国·高二课时练习）已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________.
【答案】         
【解析】
【分析】
由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程，设，，，根据可得，，利用可求得结果.
【详解】
解：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为，
设，，，因为动点满足，
所以，即，，
所以，，因为，所以，
所以，即的轨迹方程为.
故答案为：；.

题型五：抛物线的几何性质
例46．（2022·浙江·高二期末）下列命题中正确的是（       ）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x =−1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质逐项分析可得答案.
【详解】
抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误；
抛物线 的准线方程为，故B错误；
抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误；
故选：C.
例47．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的对称轴是直线
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据抛物线的简单几何性质即可求出．
【详解】
因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，属于基础题．
例48．（2022·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（理））以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.
【详解】
依题意设抛物线方程为．因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或．
故选：C．
例49．（2022·全国·高二专题练习）已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，设，作于，进而根据几何关系得，再结合点在上列方程求解即可.
【详解】
如图，因为过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，
所以可设，作于．

因为，则．由，易得，
所以，，即知，
因为点在上．
所以，解得．
故选：A
例50．（多选题）（2022·江苏镇江·高二期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意，结合抛物线，椭圆，圆的性质，依次讨论求解即可.
【详解】
解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件；
对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足；
对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件；
对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件.
故选：AC
例51．（多选题）（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）关于抛物线，下列说法正确的是（       ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A，，开口向左，故A正确；
对选项B，，焦点为，故B错误；
对选项C，，准线方程为，故C错误；
对选项D，，对称轴为轴，故D正确.
故选：AD
例52．（多选题）（2022·全国·高二课时练习）（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（       ）
A．曲线的方程为
B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时，
D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【解析】
【分析】
由抛物线定义，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，依次判断，即得解
【详解】
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，
直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；
若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；
由知，故C错误；
点到直线的距离，所以D错误
故选：AB
例53．（多选题）（2022·山西省长治市第二中学校高二期中）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（       ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
【答案】ABD
【解析】
【分析】
为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个．
【详解】
如图，

由为等腰三角形，若，则有两个点；若，则不存在，若，则有两个点，则使得为等腰三角形的点有且仅有4个,故A正确；
由中为直角的点有两个；为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故B正确；
若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的有且只有2个，故C错误；
使得的点在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程，可得，，
可得点有2个；若在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点有且只有4个，故D正确．
故选：ABD
例54．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点，则___________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由于直线与抛物线的对称轴平行，所以由抛物线的光学性质可知点就是抛物线的焦点，从而可求出的值
【详解】
因为直线与抛物线的对称轴平行，
所以由抛物线的光学性质可知沿直线发出的光线经抛物线反射后，与轴相交于点就是抛物线的焦点，
所以，，
故答案为：6
例55．（2022·江苏·高二课时练习）判断下列方程所表示的曲线是否关于x轴、y轴或原点对称：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)关于原点、x轴、y轴对称．
(2)关于原点、x轴、y轴对称．
(3)关于y轴对称．
(4)不关于x轴、y轴，原点对称.
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）直接利用曲线方程的对称性写出结果即可，（4）利用曲线上任一点关于x轴、y轴、原点对称的点是否还在曲线上进行判断．
(1)
，是椭圆方程，所以关于原点、x轴、y轴对称．
(2)
，曲线是双曲线方程，所以关于原点、x轴、y轴对称．
(3)
，曲线是抛物线方程，开口向下，对称轴为轴，不关于原点、x轴对称．
(4)
在曲线上任取一点，则关于x轴、y轴、原点的对称点分别为：、、，
将代入曲线方程，得到，与方程不同，将代入曲线方程，得到，与方程不同，
将代入曲线方程，得到，与方程不同，
所以曲线不关于x轴、y轴，原点对称.
例56．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.
【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；
（2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等，
设，则，
化简整理，可得，
所以点的轨迹的方程为；
（2）由（1）得的方程为；
即由抛物线向右平移一个单位得到；
所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，.
【点睛】
本题主要考查求轨迹方程，以及轨迹的性质，熟记轨迹方程的求法，以及抛物线的性质即可，属于常考题型.

题型六：抛物线中的范围与最值问题
例57．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（理））已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件求出的坐标，结合抛物线的定义求的最小值.
【详解】
方程可化为，
所以直线恒过定点，
因为抛物线：的焦点坐标为，
所以，即，
所以，
过点作准线，垂足为，则，
过点作准线，垂足为，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为3，
故选：C.

例58．（2022·贵州·遵义四中高二期末）点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（       ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的定义转化后求距离最值
【详解】
抛物线的焦点，准线为
过点作准线于点，故△PAF的周长为，
，可知当三点共线时周长最小，为
故选：C

例59．（2022·江苏·高二）已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.
【详解】
抛物线：的焦点，依题意，，则，
当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A
例60．（2022·四川成都·高二开学考试（文））已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】
由题意：，，
设点，，A在抛物线上，故，
，，由得，
即，
，
当时，；
当时，
，
当且仅当即时，等号成立，
∴k有最大值，
故选:C.
例61．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，且点F与圆上点的距离的最大值为6，则抛物线的准线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得抛物线的焦点坐标，再根据点F与圆上点的距离的最大值为6求解.
【详解】
因为抛物线的焦点为F，
且点F与圆上点的距离的最大值为6，
所以，解得，
所以抛物线的准线方程为，
故选：D
例62．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案.
【详解】
设直线与抛物线相切，
联立，得，，
∵，∴,
由题意得，直线与直线的距离，
即，解得，∴,
故选:B.
例63．（多选题）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（       ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；
【详解】
解：对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外，
所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误；

对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内，
设与准线交于点，则，所以，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；

，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确；

对于D：抛物线，焦点，准线方程为，
当，此时，则，解得，
即或，如图取，则，，
所以，故D正确；

故选：BCD
例64．（2022·广东梅州·高二阶段练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______．
【答案】          ##
【解析】
【分析】
设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知，进而可得，即得.
【详解】
设点，，

∴.
抛物线的焦点为点，由题意知，，

∴.
故答案为：；.
例65．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（文））已知抛物线的焦点为F，则抛物线上的动点P到点与F距离之和的最小值为______．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义,可将长度转化到点到准线的距离,进而根据两点之间线段最短即可求解.
【详解】
记抛物线的准线方程为，到l的距离为，作于，则，当且仅当为与抛物线的交点时，等号成立．
故答案为：7

例66．（2022·江苏·高二）如图所示，已知P为抛物线上的一个动点，点，F为抛物线C的焦点，若的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.

【答案】
【解析】
【分析】
根据定义将转化为点P到点Q和准线的距离之和，由最小值为3可得p，然后可得抛物线标准方程.
【详解】
过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，
由抛物线定义可知，当P，M，Q三点共线时等号成立
所以，解得
所以抛物线C的标准方程为.
故答案为：

例67．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知定点，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得出，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值可得结果.
【详解】
抛物线的焦点为，准线为，如下图所示：

过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取得最小值为.
故答案为：.
例68．（2022·北京师大附中高二期末）已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
化简，通过距离公式可得，利用基本不等式求最值即可求解．
【详解】
设，
由题意可得，
，当且仅当时，即时等号成立，
m的最大值为
故答案为：
例69．（2022·江苏苏州·高二期末）已知抛物线C：y2= 8x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若，则该圆的半径r的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出直线的方程为，代入抛物线方程，消去，可得关于的二次方程，运用韦达定理及抛物线的定义，化简计算可求解.
【详解】
抛物线C：y2= 8x的焦点为,设以为圆心的圆的半径为，
可知，，
设，直线的方程为，则，
代入抛物线方程，可得，即有，
，，
，
即，
所以.
故答案为：

题型七：焦半径问题
例70．（2022·江苏·高二）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的定义与焦半径公式直接求解即可.
【详解】
由题可知，抛物线准线，可得，解得，
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：A.
例71．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．则当取最大值时，的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两点间距离公式和抛物线焦半径公式可得，令可将所求式子化为，根据二次函数的最大值点可求得结果.
【详解】
由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：B.
例72．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））抛物线上一点的坐标为，则点到焦点的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将点坐标代入抛物线可得，则所求距离为.
【详解】
在抛物线上，，解得：，点到焦点的距离为.
故选：B.
例73．（2022·江苏·高二）已知抛物线上一点满足（其中为坐标原点，为抛物线的焦点），则（       ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知，，，再根据两点之间的距离公式，列出等式，建立关于的方程，即可求出结果.
【详解】
因为抛物线，所以，
又在抛物线上，所以，
又，所以，
所以.
解得.
故选：D.
例74．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知的三个顶点都在抛物线上，且F为抛物线的焦点，若，则（       ）
A．12 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
设A，B，C的纵坐标分别是，由，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出的值.
【详解】
由，得.设A，B，C的纵坐标分别是，由，有，即.
由抛物线的定义可得:.
故选：C
例75．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（文））已知抛物线C：的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出抛物线的标准方程，得到A，F的坐标，设，利用三点共线求出b，即可求出.
【详解】
由抛物线的定义可得：，解得，则抛物线C：.所以，.
设，因为A，F，B三点共线，所以，解得（b＝1舍去），
故，．
故选：A
例76．（2022·湖南·永州市第一中学高二阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，点在抛物线上运动，则点到直线的最小距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的焦半径公式可求出，然后设出点的坐标，求出点到直线的距离，然后利用二次函数的知识可得答案.
【详解】
因为抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，
所以，解得，所以抛物线，
设，则点到直线的距离为，
所以当时距离最小，最小值为，
故选：B
例77．（2022·江苏·高二期末）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】
根据三角形面积公式，即可求出点，然后抛物线定义，求出长度，根据等面积法即可求出.
【详解】
，设，因为，所以，不妨取，则,,则，故 到距离为.
故答案为：
例78．（2022·广东·高二阶段练习）已知抛物线上一点与焦点的距离为，则的横坐标是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义可求得点的横坐标.
【详解】
设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可得，故.
故答案为：.
例79．（2022·广西柳州·高二期中（理））已知是抛物线上不同的点，且，若，则________.
【答案】20
【解析】
【分析】
设的纵坐标分别为，由向量的和为零向量可得，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，从而可求得结果
【详解】
设的纵坐标分别为，
由抛物线，可得准线方程为，
因为，
所以，
所以，
由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以
，
故答案为：20
例80．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义和焦半径公式即可求解.
【详解】
由题可知.
故答案为：5.
例81．（2022·江苏·高二）顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离等于，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
设抛物线方程，可知；由抛物线焦半径公式可构造方程求得，将代入抛物线方程即可求得的值.
【详解】
设抛物线方程为：，
是抛物线上一点，；
由抛物线焦半径公式知：，解得：，抛物线方程为：，
，解得：.
故答案为：.
例82．（2022·江苏·高二）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______．
【答案】15
【解析】
【分析】
易得抛物线方程为，根据，求得点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义求解.
【详解】
解：因为抛物线的焦点到准线的距离为4，
所以，则抛物线：，
设点的坐标为，的坐标为，
因为，
所以，则，
则，
所以直线的方程为，
代入抛物线方程可得，
故，则，
所以．
故答案为：15
例83．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）已知抛物线C：，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则______．
【答案】9
【解析】
【分析】
过A、、作准线的垂线且分别交准线于点、、，根据抛物线的定义可知，由梯形的中位线的性质得出，进而可求出的结果.
【详解】
由抛物线，可知，则，
所以抛物线的焦点坐标为，
如图，过点A作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，
过点作垂直于准线交准线于，

由抛物线的定义可得，
再根据为线段的中点，而四边形为梯形，
由梯形的中位线可知，
则，所以.
故答案为：9.
例84．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，求得，由焦半径公式得，，代入计算化简可得．
【详解】
设，
由得，所以，，
，，
．
故答案为：1．