2021-2022学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 设集合，，则集合(    )

A.  B.  C.  D.

2. 复数，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知某个数据的平均数为，方差为，现又加人一个新数据则这个数据的平均数和方差分别为(    )

A. ， B.  C.  D.

4. 中国的技术领先世界，技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率取决于信道带宽，经科学研究表明：与满足，其中为信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从提升到，则大约增加了附：(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若双曲线的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知、表示两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(    )

A. ，，
B. ，
C. ，，
D. ，，

7. 已知函数，若在上有且仅有一个极值点，则整数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知命题：函数在上单调递减；命题：，都有若为真命题，为假，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C. ， D. ，

9. 平面直角坐标系中，角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知等差数列，，，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，点在抛物线上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 如果曲线在点处的切线与直线垂直，则______．
15. 某城市年到年人口总数与年份的关系如表所示．

据此估计年该城市人口总数______参考数据和公式

16. 函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
    函数的最小正周期为；
    若，则；
    函数在区间上单调递增；
    函数，所有零点之和为．
    其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．
    求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；
    若射线与圆的交点为，，与圆的交点为，，求的值．
18. 已知等比数列的前项和
    求该数列首项和公比；  
    若，求数列的前项和．
19. 年月日，第届冬奥会在中国北京和张家口举行．冬奥会闭幕后，某学校从全校学生中随机抽取了名学生，对其是否收看冬奥会进行了问卷调查，统计数据如下：

根据上表说明，能否有的把握认为，收看冬奥会与性别有关？
现从参与问卷调查且没收看冬奥会的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取人参加冬季运动宣传培训会．若从这人中随机选取人，求选取的人中有名男生名女生的概率．
附：，其中．

20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．
    若为的中点，求证：平面；
    求四棱锥的体积．

21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
    求的方程；
    直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：，，，四点共圆．
22. 已知函数．
    讨论的单调性；
    若，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
则，
故，
故选：．
利用指数函数性质解出，即可．
本题考查了集合的交集相关知识，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数，故的虚部为．
故选：．
利用复数的计算法则可解．
本题考查复数运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：这个数据的平均数．
方差．
故选：．
由一组数据的平均数定义和方差的定义即可求得答案．
本题主要考查数据的平均数和方差，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，．
当时，．
则，所以大约增加了．
即大约增加了．
故选：．
将与代入，作差后得到，进而求出大约增加了．
本题主要考查对数运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由双曲线的两条渐近线方程是，可知双曲线为等轴双曲线，
所以双曲线的离心率为．
故选：．
由渐近线方程是，可知双曲线为等轴双曲线，即可得到其离心率．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于选项，若，，，则、的位置关系不确定，错；
对于选项，若，，则与的位置关系不确定，错；
对于选项，，，，则、平行或异面，错．
对于选项，设，过直线上的点在平面内作，如下图所示：

因为，，，，则，
，则，又因为，，所以，，对；
故选：．
利用已知条件判断线线、线面位置关系，可判断选项的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断选项．
本题主要考查空间中的垂直关系，空间中的平行关系等知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数，
又在上有且仅有一个极值点，
则，
故，
得：，
故整数的最大值为，
故选：．
利用辅助角公式将化简，再利用三角函数性质计算．
本题考查三角函数相关知识，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数在上单调递减，则，
若对，都有，则，即．
若为真命题，为假，则与一真一假，
若真假，则；若假真，则．
综上可知，实数的取值范围为．
故选：．
分别求出、为真命题的的范围，再由为真命题，为假，可得与一真一假，然后分类求解得答案．
本题考查复合命题的真假判断，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
又角的终边经过点，则为第一象限角，
故，，
所以，
故选：．
利用诱导公式、二倍角公式和三角函数定义可求．
本题考查了利用诱导公式、二倍角公式和三角函数定义相关知识，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，可得公差，所以，
因此，
所以前项和为，
故选：．
根据等差数列的性质可求公差，进而可求，根据裂项求和即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式以及裂项相消求和，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：过作垂直于直线于，
在直角三角形中，，
则，即，
在抛物线中，，
 在中，，
即，得，
故选：．
根据抛物线的性质，结合正弦定理进行转化求解即可．
本题主要考查抛物线性质的应用，根据抛物线的性质利用正弦定理进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，
则，在时恒成立，
在上是增函数，
，，，
，
，，，
．
故选：．
构造函数，由导数确定单调性，由此能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，
，
又，则，即，得，
故答案为：．
利用向量坐标运算算出，再利用垂直可解．
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
可得，
曲线在点处的切线与直线垂直，
，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由表中数据可得，，
，
，
，
当年，即时，．
故答案为：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将代入，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为是定义域为的奇函数，满足，
所以，
所以，
所以，
所以函数的最小正周期为，故错误；
因为是定义域为的奇函数，
所以，
因为，
所以的图像关于直线对称，
所以，，
因为函数的最小正周期为，
所以，则，故正确；
因为当时，，
所以在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以在，
所以在区间上单调递增，故正确；
由，得，
所以的零点为函数与的图像交点的横坐标，
周期为，图像也关于直线对称，
在同一坐标系中画出两函数的图像，如图所示：

由图像可知函数图像在上的交点的横坐标为，，，，其和为，
所以函数，所有零点之和为，故正确，
故答案为：．
由是定义域为的奇函数，满足，可得函数的周期，即可判断是否正确；由是定义域为的奇函数，得，，，进而可得函数的最小正周期为，即可判断是否正确；当时，，可得函数的单调性，进而可判断是否正确；
由，得，则的零点为函数与的图像交点的横坐标，即可判断是否正确．
本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，即，
，
，即，
可得，，即，
故圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程为．
将代入圆和圆的极坐标方程得：，，
则． 

【解析】根据已知条件，结合极坐标公式，求出圆和圆的直角坐标方程，再对两圆相减，即可求解．
将代入圆和圆的极坐标方程得，两点的极径，即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：由，得；
，，
则等比数列的公比；
由，，得，
．
数列的前项和为． 

【解析】在数列的前项和中取求得首项，再求得，则可求，公比可求；
求出等比数列的通项公式，代入，利用对数的运算性质求得，然后利用等差数列的前项和公式求和．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，是基础题．
 

19.【答案】解：，
有的把握认为收看冬奥会与性别有关．
采用按性别分层抽样的方法，选取人，
则男生有人，女生有人，
故选取的人中有名男生名女生的概率为． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及超几何分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，以及超几何分布的概率公式，属于基础题．
 

20.【答案】证明：如图所示，设中点为，连接，，

为的中点，且，
又，，
为平行四边形，即，
且平面，平面，
所以，平面；
解：在中，，
在中，，
，，由得，
则，所以，
又因平面，，
四棱锥的体积，
即四棱锥的体积为． 

【解析】设中点为，连接，，根据为的中点，得到为平行四边形，即可得证；
在中，，在中，，由得，代入棱锥体积公式即可求解．
本题考查了线面平行的证明和四棱锥的体积计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意知，解得，，，
所以的方程为：；
证明：设点不妨设，则点，
由，整理可得：，
所以，，
所以直线的方程为，
因为直线与轴交于点，令得，
即，同理可得点，
所以，，
所以，
所以，同理，
则以为直径的圆恒过焦点，，即，，，四点共圆．
综上所述，可证得，，，四点共圆． 

【解析】由左顶点的坐标和离心率的值及，，之间的关系求出，，的值，进而求出椭圆的方程；
由题意联立直线与椭圆的方程，可得，的坐标，进而求出直线，的方程，由题意可得，的坐标，求出向量，的坐标，可得数量积为，可得，同理，可证得，，，四点共圆．
本题考查求椭圆的方程求法，直线与椭圆的综合应用，四点共圆的证法，属于中档题．
 

22.【答案】解：由，得，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
若，则恒成立．
令，则，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以的取值范围为． 

【解析】对求导，然后分和两种情况判断的单调性即可；
若，则恒成立，构造函数，求出的最大值，即可求出的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．