2021-2022学年吉林省田家炳高中、东辽二高等五校高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年吉林省田家炳高中、东辽二高等五校高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 计算(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知平面直角坐标系中两个点坐标，，点是，中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知直线，，平面，，有以下四个命题，其中正确的命题是(    )
   若，，，则；
   若，，则；
   若，，则；
   若，，则．

A.  B.  C.  D.

5. 某企业生产，，三种型号电子产品，产品数量之比为：：，现用分层随机抽样的方法抽出容量为的样本，其中型产品件，则样本容量(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，所对的边分别为，，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，是上一点，若，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在正方体中，，分别是，的中点，设正方体棱长为，则异面直线与夹角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列说法正确的是(    )

A. 已知平面上的任意两个向量，，不等式成立
B. 若，，，是平面上不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件
C. 若非零向量，满足，则，夹角为
D. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为

10. 中国篮球职业联赛中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：

记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，且事件，，是否发生互不影响，用频率估计事件，，发生的概率，，，下述结论中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，判断下列结论正确的是(    )

A.
B. 平面
C. 平面
D. 平面平面

12. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是(    )

A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的表面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为：：

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 某班级为调查学生线上授课期间的体育锻炼情况，抽取了该班级十名同学，他们每周进行体育锻炼的时间分别为，，，，，，，，，单位为小时，这十名同学每周体育锻炼时间的方差为______．
14. 已知复数，则______．
15. 已知平面上两个不共线向量，，且，，，若，，三点共线，则实数的值为______．
16. 已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知平面向量，，
    若，求实数的值；
    若，求实数的值．
18. 某工厂为了保障安全生产，每月要定期举行技能测试，某车间的两名技术工人组成一队参加技能测试，甲工人通过每次测试的概率是，乙工人通过每次测试的概率为，假定甲乙两人是否通过测试相互之间没有影响．
    求甲，乙两名工人都通过测试的概率；
    求两名工人中恰有一人通过测试的概率．
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
    求角；
    若，，求的面积．
20. 在正方体中，，，分别是，，的中点．
    证明：平面平面；
    证明：．

21. 为迎接年北京冬奥会，某校组织全体学生参加了主题为“筑梦冬奥会，同心向未来”的知识竞赛，随机抽取了名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后每组的取值区间均为左闭右开区间，画出频率分布直方图．
    求出频率直方图中的值；
    估计全校学生成绩的样本数据的分位数．

22. 如图，四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面直角梯形，，．
    求证：平面平面；
    若为的中点，求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
故选：．
由平面向量数量积运算，结合向量的夹角求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由中点坐标公式得，，．
故选：．
由中点坐标公式可得点的坐标，可求．
本题考查中点坐标公式，以及向量的坐标运算，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：直线，，平面，，
对于，若，，，则与平行或异面，故错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，则与平行、相交或，故错误；
对于，若，，则由面面垂直的判定定理得，故正确．
故选：．
对于，与平行或异面；对于，由线面垂直的性质得；对于，与平行、相交或；对于，由面面垂直的判定定理得．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：现用分层随机抽样的方法抽出容量为的样本，其中型产品件，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以由正弦定理可得，
因为，，，可得，
所以，
可求得．
故选：．
由已知利用正弦定理可得的值，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求的值，进而利用三角形内角和定理即可求解的值．
本题考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值以及三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
，，三点共线，，解得．
故选：．
把用和表示，再根据三点、、共线可解决此题．
本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，所以中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：分别取，中点，，连接，，，即为异面直线与的夹角，
在中，，，
由余弦定理可得．
故选：．
分别取，中点，，连接，，，即为异面直线与的夹角，然后求解三角形推出结果即可．．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，不正确；
对于，，，，是平面上不共线的四点，，有，且，则四边形为平行四边形．
反之，四边形为平行四边形，即有，，与方向相同，则有．
所以当，，，是不共线的四点时，“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，B正确；
对于，由两边平方得，而，为非零向量，有，，夹角为，C正确；
对于，依题意，向量在向量上的投影向量为，不正确．
故选：．
利用向量的定义判断；
利用共线向量的定义判断；
求出判断；求出投影向量判断作答．
本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解析：根据频率频数试验总数，用频率估计事件发生的概率，
故，，，故ABC正确，
对于：表示事件发生或事件发生错，
故选：．
根据频率频数试验总数，用频率估计事件发生的概率可解．
本题考查了用频率估计事件发生的概率相关知识，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：平面，平面，平面，，
与为异面直线，故A错误；
，分别为侧棱，的中点，，
平面，平面，平面，故B正确；
连接，则，且为的中点，
设正四棱锥的棱长为，由题意可知，，同理可得，
则在平面的射影为正三角形的中心，则与平面不垂直，故C错误；
由三角形中位线定理可得，，可得面，再由选项B可知，平面，
且，面，，由面面平行的判定定理可得平面平面，故D正确．
故选：．
由异面直线的定义判断；由直线与平面平行的判定判断；利用反证法思想判断；由平面与平面平行的判定判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与推理论证能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：球半径为，圆柱侧面积为，A错误；
圆锥侧面积为，表面积为，B错误；
球的表面积为，C正确；
，，，D正确．
故选：．
通过求解圆柱的侧面积判断；圆锥的表面积判断；球的表面积判断；求出体积的比，判断．
本题考查空间几何体的体积以及表面积的求法，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为他们每周进行体育锻炼的时间分别为，，，，，，，，，单位为小时，
所以平均值等于，
所以方差．
答案：．
先求平均数，再求方差．
本题考查方差的求法，考查平均数、方差计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：复数，
则，
故答案为：．
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，，三点共线，，由，，三点共线得，
设，得且，解得：．
故答案为：．
，由，，三点共线得，以此可求得值．
本题考查平面向量共线应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为，由，可得，球的表面积．
故答案为：．
求出外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．
本题考查外接球的表面积的求法，是基础题．
 

17.【答案】解：平面向量，，
因为，所以，解得；
因为，，所以，解得． 

【解析】利用向量平行的性质直接求解；利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：设甲，乙两名工人都通过测试为事件，；
设两名工人中恰有一人通过测试为事件，因为恰有一人通过测试为甲通过乙没通过或者乙通过甲没通过，
所以． 

【解析】由于甲乙两人是否通过测试相互独立，可直接用相互独立事件概率乘法公式计算．
本题考查相互独立事件概率的乘法公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：由于，
整理得，
由于，
故C；
由得：，
整理得：，
解得，
所以． 

【解析】直接利用三角函数的关系式的变换和函数的值的应用求出结果．
利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值，余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

20.【答案】证明：连接，

在正方体中，，，四边形为平行四边形，
C.
在中，，分别为，中点，
，，
平面，平面，平面，
，分别为，中点，
，，，平面，平面，
平面．
又，平面平面．
在正方体中，平面，平面，
，，，平面．
由知平面平面，
平面，平面，． 

【解析】连接，推导出，，从而，进而平面，由，分别为，中点，推导出平面，由此能证明平面平面．
推导出，，从而平面，进而平面，由此能证明．
本题考查面面垂直的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
 

21.【答案】解：由频率分布直方图可得，
，
解得；
低于分的频率为，
故样本数据的分位数为． 

【解析】由频率分布直方图的面积之和为列方程求解即可；
利用百分位数的定义求值即可．
本题考查了频率分布直方图的综合应用，属于基础题．
 

22.【答案】证明：，，，易得．
面
，，，
由勾股定理逆定理得则．
又平面，面，，
又，面，，面，
又面，平面平面，
解：因为为的中点，
． 

【解析】证明，，推出面，然后证明平面平面，
通过，转化求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，等体积法的应用，是中档题．