2021-2022学年辽宁省大连市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省大连市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中．由列联表中的数据计算得参照附表，下列结论正确的是(    )

A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物有效”
B. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物无效”
C. 有以上的把握认为“药物有效”
D. 有以上的把握认为“药物无效”

2. 设是一个离散型随机变量，其分布列为：

则的数学期望为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知是等差数列，，，则的公差(    )

A.  B.  C.  D.

4. 甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知等比数列的前项和为，，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，不同分法的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设，是两个事件，以下说法正确的是(    )

A. 若，则事件与事件对立
B. 若，则事件与事件互斥
C. 若，则事件与事件互斥
D. 若，则事件与事件相互独立

8. 数列满足，，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束．小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重单位：符合正态分布，下列说法正确是(    )
    参考数据：，，

A. 配重的平均数为
B.
C.
D. 使用该器材的人中，配重超过的有人

11. 直线与曲线：交于，，，，曲线在，处的切线总是平行的，则下列命题正确的是(    )

A. ，
B. 曲线对称中心是
C. 经过点作曲线的切线有两条
D. 设，则

12. 已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是(    )

A.
B.
C. 第次取出的球是红球的概率为
D. 前次取球恰有次取到红球的概率是

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______．
14. 现有位学生和位教师站成一排照相，两位教师站在一起的排法有______种．
15. 的展开式中的系数是______用数字作答
16. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在，；，；，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答若选择两个或三个按照第一个计分．
    已知等差数列的前项和为，_____，数列是公比为的等比数列，且求数列，的通项公式．
18. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响．对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，
    得到下面的散点图及一些统计量的值．

其中，
Ⅰ根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由
Ⅱ根据Ⅰ的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
Ⅲ已知这种产品的年利润与、的关系为根据Ⅱ的结果回答下列问题：
年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
 

19. 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如图数据：
    Ⅰ在这所学校中随机选取所来调查研究，求在抽到学校有一个参与“自由式滑雪”超过人的条件下，“单板滑雪”超过人的概率；
    Ⅱ“单板滑雪”参与人数超过人的学校可以作为“基地学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为可选作为“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
    Ⅲ现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”则该轮测试记为“优秀”，在集训测试中，小明同学个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
20. 已知数列满足，；设等差数列、的前项和分别为和，且，，．
    Ⅰ求证数列是等比数列；
    Ⅱ求常数的值及的通项公式；
    Ⅲ求的值．
21. 已知函数其中，为参数．
    求函数的单调区间；
    若，函数有且仅有个零点，求的取值范围．
22. 已知和有相同的最大值．
    Ⅰ求的值；
    Ⅱ求证：存在直线与两条曲线和共有三个不同的交点、、且，使得，，成等比数列．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则在犯错误的概率不超过的前提下，认为“药物有效”．
故选：．
根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由得，．

故选：．
先利用分布列中概率和为求解出的值，然后计算出数学期望．
本题主要考查利用分布列求数据的期望，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，可得
由，可得，
联立，得．
故选：．
根据题设条件给出的，，写出首项，和公差的关系式，联立求解即可．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础的计算题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得甲最终获胜有两种情况：
一是前两局甲获胜，概率为，
二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为：，
这两种情况互斥，
甲最终获胜的概率为．
故选：．
由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥斥事件的概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算运解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
，
，
故选：．
求出等比数列的前三项，利用等比数列通项的性质，即可求出的值．
本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前项和公式，求出等比数列的前三项是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：先将本书分为组，再分给人有种．
故选：．
先将本书分为组，再分给人，根据排列组合公式列式计算即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于选项A，以抛一枚骰子一次为例，
表示事件“出现偶数点”，
表示事件“出现的点数不大于”，
故，
故，
但事件与事件不对立，
故错误；
对于选项B，以抛一枚骰子一次为例，
表示事件“出现偶数点”，
表示事件“出现的点数不大于”，
故，
故，
但事件与事件不互斥，
故错误；
对于选项C，假设飞镖一定落在圆内，如图，

表示事件“飞镖落在圆内”，
表示事件“飞镖落在圆心”，
故，，
故，
但事件与事件不互斥，
故错误；
对于选项D，由事件独立的定义知，正确；
故选：．
对于选项A，以抛一枚骰子一次为例判断即可；
对于选项B，以抛一枚骰子一次为例判断即可；
对于选项C，以几何概率模型判断即可；
对于选项D，由事件独立的定义直接判断即可．
本题考查了事件互斥、对立、独立的判断与应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，因为的周期为，
所以的周期为，
又，，
所以当为奇数时，，
所以当为偶数时，，
又，所以，，
，于是得到，
同理可求出，，
设，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的前项和为数列的前项和，
故选：．
利用周期性以及等差数列进行求解．
本题考查了等差数列的求和计算以及数列的周期性的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，为奇函数，图象不关于轴对称，A错误，
对于，，为偶函数，图象关于轴对称，B正确，
对于，，为偶函数，图象关于轴对称，C正确，
对于，，不是偶函数，图象不关于轴对称，D错误，
故选：．
先求出选项中函数的导数，再判断其导函数的奇偶性即可．
本题考查导数的计算，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：配重单位：符合正态分布，
可得配重的平均数为，即，，
故A、C正确；
又，，
则，故B正确；
又，
，
使用该器材的人中，配重超过的有人，故D错误．
故选：．
由正态分布曲线的特点可得，，再由原则计算可得结论．
本题考查正态分布曲线的对称性和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为曲线在，处的切线总是平行的，
所以，两点关于曲线的对称中心对称，
因为直线恒过点，
所以曲线的对称中心为，所以B正确，
所以，
由当时，，则关于点的对称点在曲线上，
所以，即，
由得，所以A正确，
所以曲线为，则，设切点为，则，切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为直线过点，
所以，化简得，
即，解得或，
所以经过点作曲线的切线有两条，所以C正确，
因为，
所以
，
所以D错误，
故选：．
由题意可知直线恒过定点，由曲线在，处的切线总是平行的，可得，两点关于曲线的对称中心对称，从而可求出曲线的对称中心，由对称性，可得，的方程，则可求出，的值，进而可求出经过点的切线，求出的值．
本题主要考查三次函数的对称性，利用导数研究函数的性质等知识，属于中等题．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意，
设第次取出的球是红球的概率为，白球概率为，
对于第次取出红球有两种情况：
从红箱中取出的概率为，从白箱取出的概率为，
对应，，故B错误；
，
令，则数列为等比数列，公比为，
，，，
，，故AC均正确；
第次取出的球是红球的概率为，第次取出的球是红球的概率为，
第次取出的球是红球的概率为，
前次取有次取到红球的概率为，故D错误．
故选：．
依题意求出，设第次取出的球是红球的概率为，则利用相互独立事件概率乘法公式、次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能判断各个选项．
本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件概率乘法公式、次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由函数的解析式可得，则切线的斜率为，
由函数的解析式的，即切点坐标为，
则切线方程为，即．
故答案为：．
由题意首先求得导数的解析式，然后求得切线的斜率，最后结合切点坐标可得切线方程．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，要求两位教师站在一起，
将两位教师看成一个整体，再与位学生全排列即可，有种排法，
故答案为：．
根据题意，将两位教师看成一个整体，再与位学生全排列即可，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据二项式定理可得展开式中含的项为，
所以的系数为，
故答案为：．
根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，由题可知，
，
当时，，适合题意，所以，
当时，令，则，
此时时，，单调递减，，，单调递增，
，又，
，
，即，
解得，
当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；
综上，实数的取值范围是
故答案为：
设，，由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得．
本题考查导数的综合应用，考查学生综合能力，属于难题．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为，
若选：根据等差数列的性质，由有，故，
所以，解得，
故，
故，故；
若选：由题意，即，
解得，
故，
故，故；
若选：由可得，即，
解得，
故，
故，
故． 

【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得，进而根据求得的通项公式即可．
本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型．分
Ⅱ令，先建立关于的线性回归方程．
由于，，
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的回归方程为分
Ⅲ由Ⅱ知，当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值分
根据Ⅱ的结果知，年利润的预报值，
当时，年利润的预报值最大．
故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大．分 

【解析】Ⅰ根据散点图，即可判断出，
Ⅱ先建立中间量，建立关于的线性回归方程，根据公式求出，问题得以解决；
Ⅲ年宣传费时，代入到回归方程，计算即可，
求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由题可知个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为，，，，，，，，，．
参与“单板滑雪”的人数依次为，，，，，，，，，．
其中参与“自由式滑雪”的人数超过人的有个，参与“自由式滑雪”的人数超过人，且“单板滑雪”的人数超过人的有个，
设事件为“从这所学校中抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”的人数超过人”．
事件为“从所学校中选出的所学校中参与“单板滑雪”的人数不超过人”．
则，．
所以．
Ⅱ“单板滑雪”参与人数超过人的学校有所，则的可能取值为，，，．
，，，．
所以的分布列为：

所以．
Ⅲ由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：．
所以小明在轮测试中获得“优秀”的次数满足，由，得．
所以理论上至少要进行轮测试． 

【解析】Ⅰ根据已知条件结合条件概率的概率公式求解，
Ⅱ的可能取值为，，，，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望，
Ⅲ根据题意，结合二项分布的概率公式求解
本题主要考查条件概率、离散型随机变量的分布列和期望以及次独立重复试验，属于难题．
 

20.【答案】证明：因为数列满足，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
因为由等差数列，的性质可知：
，，
所以由得：，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以，
因为等差数列、的前项和分别为和，
所可设，，
因为，
所以，即，
当时，，
当，即，
显然时，也满足上式，
所以；
由可知，即，
所以，
所以

，
令，
则，
两式相减得：

，
所以，
所以． 

【解析】由得，结合等比数列的定义即可证明；
利用等差数列的性质与求和公式以及与的关系求解即可；
利用分组求和法与错位相减法求解即可．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：函数的定义域为，对求导得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，，．
令，则舍去，
令，则，所以在上单调递增．
又，，且函数在上的图象是连续不断的曲线，
所以根据零点存在性定理，存在唯一，使得，
并且当时，，当时，，
所以当时，，函数单调递减；
当时，函数单调递增，所以．
因为函数有且只有个零点，所以必须有，即．
下面证明当时，函数有且只有个零点．
因为，，且在上单调递增且连续，
所以在上有且只有个零点．
因为，令，则．
因为，所以，，
显然在上单调递增，
所以，又，
所以在上有且只有个零点．综上，实数的取值范围为． 

【解析】先求函数的定义域，然后对求导，并对参数分类讨论，利用的正负关系可以得到的单调区间；
通过导数求出函数的最小值，利用函数有且只有个零点，所以必须有，从而求出的取值范围，再证明此时函数有且仅有个零点，即可得到的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：的定义域为，且，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，
的定义域为，且，
所以，
又和有相同的最大值，
所以，解得，
又，
所以；
证明：由可知：
在递增，在递减，且，，
在递增，在递减，且，，
和的图象如图所示：

设和的图象交于点，
则当直线经过点时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，则，且，
因为，
所以，即，
因为，，且在递增，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
因为，，且在递减，
所以，
所以，
所以，即，
所以得，，成等比数列． 

【解析】分别用导数法求出与的最大值，由最大值相等建立等式即可求解；
画出和的图象，设和的图象交于点，则当直线经过点时，直线与两条曲线和共有三个不同的交点，可得，再结合函数的单调性与等比数列的定义求解即可．
本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，最值，函数的零点，考查学生的运算能力，属于难题．